Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.
(C.)
(C.)
Passo 1
Enunciado dado: a equação é
.
O que o enunciado pede: classificar essa equação indicando
- a ordem;
- se é linear ou não linear.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Aparece a derivada
(ou seja, a derivada primeira ). - Aparece a função
, que é uma função não linear de . - Há um fator
multiplicando a derivada.
Passo 2
O que significa “ordem” numa equação diferencial (explicação didática):
- A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de
que aparecem na equação. - Aqui a única derivada que aparece é
, que é a derivada de primeira ordem. - Portanto a ordem é
.
Exemplo simples para fixar: se a equação tivesse
(segunda derivada) a ordem seria
; se só aparece
a ordem é
.
Passo 3
O que significa “linear” para uma equação diferencial de primeira ordem (aula curta):
- Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
onde
e
são funções que dependem só de
(podem ser conhecidas) e
aparece apenas de forma linear (ou seja, sem potências, sem produtos com
, sem funções não lineares como
,
, etc.).
- Em outras palavras: linear significa que as incógnitas
aparecem apenas multiplicadas por funções de e somadas; não podem aparecer termos como , , , , etc.
Exemplo rápido:
é linear;
é não linear.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso dado (verificação passo a passo):
- Primeiro isolo
dividindo ambos os lados por (assumindo , só para manipular):
- Observe o lado direito: aparece
, que é uma função não linear de . Isso viola a condição de linearidade (que exige dependência apenas linear em ). - Portanto a equação não pode ser posta na forma
porque o termo que envolve está dentro de um .
Comentário adicional útil para a prova (não pedido, mas prático): essa equação é um exemplo de equação de primeira ordem não linear que, no entanto, é separável, porque pode ser escrita como
o que permite (com cuidado com domínios) integrar ambos os lados. Também há a restrição natural
para que
esteja definido.
Passo 5
Conclusão final da classificação:
- Ordem:
. - Linearidade: não é linear (é uma equação diferencial de primeira ordem não linear, devido ao termo
que torna a dependência em não linear).
Resposta
Ordem:
. Não linear.