Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.
(C.) 2 x y_{x}=\ln (y-1)

Passo 1

Enunciado dado: a equação é 2 x\, y_{x}=\ln (y-1).
O que o enunciado pede: classificar essa equação indicando
  1. a ordem;
  2. se é linear ou não linear.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Aparece a derivada \,y_{x} (ou seja, a derivada primeira \dfrac{dy}{dx}).
  • Aparece a função \ln(y-1), que é uma função não linear de y.
  • Há um fator 2x multiplicando a derivada.

Passo 2

O que significa “ordem” numa equação diferencial (explicação didática):
  • A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de y que aparecem na equação.
  • Aqui a única derivada que aparece é \,y_{x}, que é a derivada de primeira ordem.
  • Portanto a ordem é 1.
Exemplo simples para fixar: se a equação tivesse y_{xx} (segunda derivada) a ordem seria 2; se só aparece y_x a ordem é 1.

Passo 3

O que significa “linear” para uma equação diferencial de primeira ordem (aula curta):
  • Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções que dependem só de x (podem ser conhecidas) e y aparece apenas de forma linear (ou seja, sem potências, sem produtos com y', sem funções não lineares como \ln(y), \sin(y), etc.).
  • Em outras palavras: linear significa que as incógnitas y, y', y'',\dots aparecem apenas multiplicadas por funções de x e somadas; não podem aparecer termos como y^2, \ln(y), \sin(y), y\,y', etc.
Exemplo rápido: \,y' + \dfrac{1}{x}y = \sin x é linear; \,y' = y^2 é não linear.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso dado (verificação passo a passo):
  • Primeiro isolo y_x dividindo ambos os lados por 2x (assumindo x\neq 0, só para manipular):
y_{x}=\frac{\ln(y-1)}{2x}.
  • Observe o lado direito: aparece \ln(y-1), que é uma função não linear de y. Isso viola a condição de linearidade (que exige dependência apenas linear em y).
  • Portanto a equação não pode ser posta na forma y'+p(x)y=q(x) porque o termo que envolve y está dentro de um \ln(\cdot).
Comentário adicional útil para a prova (não pedido, mas prático): essa equação é um exemplo de equação de primeira ordem não linear que, no entanto, é separável, porque pode ser escrita como
\frac{1}{\ln(y-1)}\,dy=\frac{1}{2x}\,dx,
o que permite (com cuidado com domínios) integrar ambos os lados. Também há a restrição natural y>1 para que \ln(y-1) esteja definido.

Passo 5

Conclusão final da classificação:
  • Ordem: 1.
  • Linearidade: não é linear (é uma equação diferencial de primeira ordem não linear, devido ao termo \ln(y-1) que torna a dependência em y não linear).

Resposta

Ordem: 1. Não linear.

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