Classificar cada uma das seguintes equações diferenciais quanto ao tipo (ordinária ou parcial) e ordem, e no caso, em que se tratar de uma EDO, verificar se a mesma é linear.
d sd t=t cos s;

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa equação diferencial que você enviou: dsdt = t cos s. O objetivo é classificar essa equação quanto ao tipo (ordinária ou parcial), à ordem e, se for uma EDO (Equação Diferencial Ordinária), verificar se ela é linear. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais ordinárias e parciais, além de saber identificar a ordem e a linearidade de uma EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é ordinária ou parcial. Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente. Já uma Equação Diferencial Parcial (EDP) envolve derivadas parciais de uma função em relação a múltiplas variáveis independentes.
No nosso caso, a equação dsdt = t cos s tem derivada em relação a t e só uma variável independente, que é t. Portanto, ela é uma EDO.

Passo 3

Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta presente na equação.
Na equação dsdt = t cos s, a derivada mais alta é a primeira derivada de s em relação a t, que é dsdt. Logo, a ordem da equação é 1.

Passo 4

Como a equação é uma EDO de primeira ordem, vamos verificar se ela é linear. Uma EDO é linear se pode ser escrita na forma:
dsdt + P(t)s = Q(t)
onde P(t) e Q(t) são funções de t.
Vamos reescrever a nossa equação:
dsdt = t cos s
Para que seja linear, o termo que multiplica s deve ser apenas uma função de t, mas aqui temos cos s, que depende da função s de forma não linear. Portanto, a equação não é linear.

Resposta

A equação dsdt = t cos s é uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem e não é linear.

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