Classificar cada uma das seguintes equações diferenciais quanto ao tipo (ordinária ou parcial) e ordem, e no caso, em que se tratar de uma EDO, verificar se a mesma é linear.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
Primeiro, vamos entender do que se trata essa equação. Ela envolve derivadas de $ y $ em relação a $ x $, então estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). Precisamos identificar a ordem da equação e verificar se ela é linear.
Passo 2
Vamos começar determinando a ordem da equação. A ordem é a maior derivada presente na equação. Olhando para a equação:
A maior derivada é a de quarta ordem. Então, essa é uma EDO de quarta ordem.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa EDO é linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
onde os coeficientes $ a_i(x) $ dependem só de $ x $ e não de $ y $ ou suas derivadas de forma não linear.
Passo 4
Comparando com a nossa equação:
Vemos que os coeficientes das derivadas são constantes (-3 e 6) e o termo do lado direito, $ x^{2} \sin x $, só depende de $ x $. Não há termos como $ y^2 $ ou $ (\frac{dy}{dx})^3 $, por exemplo. Então, a equação é linear.
Resposta
A equação diferencial dada é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem e linear.