Classificar cada uma das seguintes equações diferenciais quanto ao tipo (ordinária ou parcial) e ordem, e no caso, em que se tratar de uma EDO, verificar se a mesma é linear.
d^4 yd x^4-3 d^2 yd x^2+6 y=x^2 sin x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
d^4 yd x^4 - 3 d^2 yd x^2 + 6 y = x^2 sin x
Primeiro, vamos entender do que se trata essa equação. Ela envolve derivadas de $ y $ em relação a $ x $, então estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). Precisamos identificar a ordem da equação e verificar se ela é linear.

Passo 2

Vamos começar determinando a ordem da equação. A ordem é a maior derivada presente na equação. Olhando para a equação:
d^4 yd x^4
A maior derivada é a de quarta ordem. Então, essa é uma EDO de quarta ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa EDO é linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
an(x) d^n yd x^n + an-1(x) d^n-1 yd x^n-1 + dots + a0(x) y = g(x)
onde os coeficientes $ a_i(x) $ dependem só de $ x $ e não de $ y $ ou suas derivadas de forma não linear.

Passo 4

Comparando com a nossa equação:
d^4 yd x^4 - 3 d^2 yd x^2 + 6 y = x^2 sin x
Vemos que os coeficientes das derivadas são constantes (-3 e 6) e o termo do lado direito, $ x^{2} \sin x $, só depende de $ x $. Não há termos como $ y^2 $ ou $ (\frac{dy}{dx})^3 $, por exemplo. Então, a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial dada é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem e linear.

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