Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
\left(y^{\prime \prime}\right)^{3}-x y^{\prime}+y^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede: classificar a EDO quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
\left(y^{\prime \prime}\right)^{3}-x y^{\prime}+y^{\prime \prime}=0.
Informações relevantes que o enunciado deu:
\text{(i) a equação envolve }y^{\prime}\text{ e }y^{\prime\prime};çã
\text{(ii) há um termo }(y^{\prime\prime})^{3}\text{ (derivada ao cubo) e um termo }-x y^{\prime}.á
Não há outras informações fornecidas.

Passo 2

O que é ordem de uma EDO (explicação didática): a ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior número de derivadas de y que aparece na equação. Por exemplo, a equação
y''+y=0
é de ordem 2 porque a maior derivada presente é y''. Aqui eu só olho qual a derivada de maior grau que aparece.

Passo 3

Determinar a ordem da EDO dada (passo a passo): na equação
\left(y^{\prime \prime}\right)^{3}-x y^{\prime}+y^{\prime \prime}=0
as derivadas que aparecem são y' (primeira derivada) e y'' (segunda derivada). A maior derivada presente é y''. Portanto a ordem da equação é 2.

Passo 4

O que significa ser linear (explicação didática): uma EDO de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo fonte g(x) dependem apenas da variável independente x (não dependem de y ou de suas derivadas) e as derivadas e y aparecem apenas na primeira potência (ou seja, não aparecem produtos entre y e suas derivadas, nem potências como (y')^2, etc.). Um exemplo linear é
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x),
e um exemplo não linear é
(y')^2+y=0,
porque (y')^2 tem potência 2 da derivada.

Passo 5

Testando a linearidade da equação dada (passo a passo): reescrevo a equação na forma
(y^{\prime\prime})^{3}+y^{\prime\prime}-x\,y^{\prime}=0.
Aqui eu vejo claramente o termo (y^{\prime\prime})^{3}, ou seja, a segunda derivada aparece elevada à terceira potência. Isso viola a condição de linearidade, que exige que cada derivada apareça apenas na primeira potência e sem multiplicação por outras derivadas ou pela própria função y. Mesmo que exista também um termo y^{\prime\prime} linear, a presença do termo (y^{\prime\prime})^{3} já basta para tornar a equação não linear. Além disso, a equação não é quasilinear (ou seja, não é linear em relação à maior derivada), porque a maior derivada y'' aparece de forma não linear (ao cubo).

Passo 6

Conclusão (síntese): juntando os resultados dos passos anteriores, a equação é uma EDO ordinária de ordem 2 e é não linear por causa do termo (y^{\prime\prime})^{3}.

Resposta

Ordem 2.
Não linear (devido ao termo (y^{\prime\prime})^{3}).

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