Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é
que depende de . - Aparecem
e a derivada . - A derivada aparece elevada ao quadrado, ou seja,
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO? Vou explicar bem devagar: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. Por exemplo, se aparece
então a ordem é
; se a maior derivada é
então a ordem é
.
Aplicando isso aqui: os termos que aparecem são
e
(e uma potência de
). Não há derivadas de ordem superior a
. Logo a ordem é
Passo 3
Agora vamos à linearidade — explico a definição primeiro. Uma EDO de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
são funções somente da variável independente
. Ou seja, numa equação linear:
- cada derivada
aparece apenas multiplicada por uma função de ; - não aparecem potências, produtos entre derivadas, nem funções não lineares de
ou de (por exemplo, , , etc. deixam a equação não linear).
Um exemplo rápido para fixar:
- Linear de 1ª ordem:
. - Não linear:
(porque tem ).
Passo 4
Apliquei a definição ao nosso caso. A equação é
Aqui aparece o termo
, ou seja, a derivada primeira está elevada ao quadrado. Isso viola a forma linear: uma derivada não pode aparecer com potência diferente de
nem em produto com outra derivada. Portanto a presença de
torna a equação não linear.
Observação extra (útil para a prova): a equação é de ordem
e não linear; especificamente é um polinômio quadrático em
. Se quiser, dá para isolar
resolvendo a equação quadrática em
:
o que mostra que
é uma função de
(uma equação autônoma e não linear), mas isso não muda a classificação.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear