Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-3 \frac{d y}{d x}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}-3\frac{dy}{dx}+y=0.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A incógnita é y que depende de x.
  • Aparecem y e a derivada \frac{dy}{dx}.
  • A derivada aparece elevada ao quadrado, ou seja, \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO? Vou explicar bem devagar: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de y que aparece na equação. Por exemplo, se aparece y''=\frac{d^{2}y}{dx^{2}} então a ordem é 2; se a maior derivada é y'=\frac{dy}{dx} então a ordem é 1.
Aplicando isso aqui: os termos que aparecem são y e \frac{dy}{dx} (e uma potência de \frac{dy}{dx}). Não há derivadas de ordem superior a 1. Logo a ordem é
1.

Passo 3

Agora vamos à linearidade — explico a definição primeiro. Uma EDO de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_{n}(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \dots + a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_{k}(x) e o termo independente g(x) são funções somente da variável independente x. Ou seja, numa equação linear:
  • cada derivada y^{(k)} aparece apenas multiplicada por uma função de x;
  • não aparecem potências, produtos entre derivadas, nem funções não lineares de y ou de y^{(k)} (por exemplo, (y')^{2}, \sin(y), y\cdot y' etc. deixam a equação não linear).
Um exemplo rápido para fixar:
  • Linear de 1ª ordem: \,y' + p(x)\,y = q(x)\,.
  • Não linear: (y')^{2} + y = 0 (porque tem (y')^{2}).

Passo 4

Apliquei a definição ao nosso caso. A equação é
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}-3\frac{dy}{dx}+y=0.
Aqui aparece o termo \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}, ou seja, a derivada primeira está elevada ao quadrado. Isso viola a forma linear: uma derivada não pode aparecer com potência diferente de 1 nem em produto com outra derivada. Portanto a presença de \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} torna a equação não linear.
Observação extra (útil para a prova): a equação é de ordem 1 e não linear; especificamente é um polinômio quadrático em \frac{dy}{dx}. Se quiser, dá para isolar \frac{dy}{dx} resolvendo a equação quadrática em \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{3\pm\sqrt{9-4y}}{2},
o que mostra que y' é uma função de y (uma equação autônoma e não linear), mas isso não muda a classificação.

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: não linear

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