Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
x^{2} \frac{d y}{d x}+y\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique a equação diferencial quanto à ordem e à linearidade. A equação dada é
x^{2}\frac{dy}{dx}+y\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=0.
Informações relevantes do enunciado:
  • Temos a variável independente implícita (normalmente x) e a dependente y.
  • Aparecem derivadas de y com respeito a x: \frac{dy}{dx}.
  • Não há outras derivadas explícitas (como \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, etc.) no enunciado.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO?
  • Ordem é o maior número de diferenciação que aparece na equação, ou seja, a maior derivada de y presente.
  • Exemplo: se a equação tem \frac{d^{2}y}{dx^{2}} mas não tem derivadas de ordem maior, sua ordem é 2.
  • Observação didática: basta olhar todos os termos e identificar a derivada de maior ordem que aparece.

Passo 3

Aplicando a definição de ordem à equação dada:
  • Os termos que aparecem trazem apenas \frac{dy}{dx} (a derivada de primeira ordem).
  • Não aparece \frac{d^{2}y}{dx^{2}} nem derivadas de ordem maior.
    Logo a ordem da EDO é \,1.

Passo 4

O que significa “linearidade” de uma EDO?
  • Uma EDO é linear em y (e suas derivadas) se puder ser escrita na forma
a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y = g(x),
onde os coeficientes a_{i}(x) e o termo à direita g(x) dependem somente da variável independente x (podem ser funções de x), e y e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência, sem produtos entre eles e sem funções não-lineares (como quadrados, senos de y, produtos y\cdot \frac{dy}{dx}, etc.).
  • Exemplo de EDO linear de primeira ordem: \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x).
  • Exemplo de EDO não linear: y\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=1 (porque há produto entre y e \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} e há potência 2 de \frac{dy}{dx}).

Passo 5

Verificando a linearidade da equação dada:
  • Repito a equação para visualizar os termos:
x^{2}\frac{dy}{dx}+y\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=0.
  • Note que há um termo y\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}: aqui aparece o quadrado de \frac{dy}{dx} e esse quadrado é multiplicado por y. Isso viola a condição de linearidade porque:
    1. a derivada \frac{dy}{dx} aparece elevada à potência 2 (não é apenas em primeira potência); e/ou
    2. há um produto entre y e uma função da derivada \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}, ou seja, y e \frac{dy}{dx} aparecem multiplicados.
  • Portanto a equação NÃO pode ser escrita na forma linear indicada acima com coeficientes que dependam só de x. Logo a EDO é não linear.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (como checar na hora):
  • Para a ordem: procure a maior derivada presente. Aqui é \frac{dy}{dx} → ordem \,1.
  • Para a linearidade: veja se y e todas as suas derivadas aparecem só em potência 1 e sem produtos entre si; se houver potências, produtos ou funções não-lineares de y ou de derivadas, é não linear. Aqui há \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} e produto com y → não linear.

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: não linear

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