Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique a equação diferencial quanto à ordem e à linearidade. A equação dada é
Informações relevantes do enunciado:
- Temos a variável independente implícita (normalmente
) e a dependente . - Aparecem derivadas de
com respeito a : . - Não há outras derivadas explícitas (como
, etc.) no enunciado.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO?
- Ordem é o maior número de diferenciação que aparece na equação, ou seja, a maior derivada de
presente. - Exemplo: se a equação tem
mas não tem derivadas de ordem maior, sua ordem é . - Observação didática: basta olhar todos os termos e identificar a derivada de maior ordem que aparece.
Passo 3
Aplicando a definição de ordem à equação dada:
- Os termos que aparecem trazem apenas
(a derivada de primeira ordem). - Não aparece
nem derivadas de ordem maior.
Logo a ordem da EDO é.
Passo 4
O que significa “linearidade” de uma EDO?
- Uma EDO é linear em
(e suas derivadas) se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo à direita
dependem somente da variável independente
(podem ser funções de
), e
e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência, sem produtos entre eles e sem funções não-lineares (como quadrados, senos de
, produtos
, etc.).
- Exemplo de EDO linear de primeira ordem:
. - Exemplo de EDO não linear:
(porque há produto entre e e há potência 2 de ).
Passo 5
Verificando a linearidade da equação dada:
- Repito a equação para visualizar os termos:
- Note que há um termo
: aqui aparece o quadrado de e esse quadrado é multiplicado por . Isso viola a condição de linearidade porque: - a derivada
aparece elevada à potência (não é apenas em primeira potência); e/ou - há um produto entre
e uma função da derivada , ou seja, e aparecem multiplicados.
- a derivada
- Portanto a equação NÃO pode ser escrita na forma linear indicada acima com coeficientes que dependam só de
. Logo a EDO é não linear.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (como checar na hora):
- Para a ordem: procure a maior derivada presente. Aqui é
→ ordem . - Para a linearidade: veja se
e todas as suas derivadas aparecem só em potência e sem produtos entre si; se houver potências, produtos ou funções não-lineares de ou de derivadas, é não linear. Aqui há e produto com → não linear.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear