Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O
é a variável independente e
a variável dependente. Não há termos com
sem derivada explícita.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO?
Definição: a ordem de uma equação diferencial ordinária é a maior ordem de derivada de que aparece na equação. Por exemplo, se a equação envolve
(segunda derivada) mas não envolve
, a ordem é
.
Definição: a ordem de uma equação diferencial ordinária é a maior ordem de derivada de
Aplicando isso aqui: os derivados que aparecem são apenas
(a primeira derivada). Não aparece
nem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
Passo 3
O que significa “linearidade” de uma EDO?
Definição: uma EDO de ordem é linear se pode ser escrita na forma
Definição: uma EDO de ordem
onde os coeficientes
e o termo independente
são funções apenas da variável independente
. Em particular, a dependência em
e nas suas derivadas deve ser linear (ou seja: não existem produtos entre
ou suas derivadas, nem potências, nem funções não lineares como
, etc.).
Exemplo simples de EDO linear de primeira ordem:
que é linear porque
e
aparecem de forma linear.
Exemplo não linear:
é não linear porque aparece
.
Passo 4
Aplicando o teste de linearidade à equação dada: ela contém o termo
, ou seja, a primeira derivada aparece elevada ao quadrado. Isso é um exemplo claro de dependência não linear em relação às derivadas de
. Mesmo que
próprio não apareça, a presença de
já quebra a linearidade, porque a forma linear exigiria termos como constantes vezes
(não potências de
).
Portanto a equação não pode ser escrita na forma linear padrão dada acima.
Passo 5
Comentário adicional (útil na prova): podemos ver a equação como uma equação algébrica para
:
Isto é uma equação quadrática em
. Resolvendo para
(apenas para exemplificar), teríamos
o que dá duas possíveis expressões explícitas para
em função de
. Mesmo assim, cada uma dessas expressões leva a uma equação de primeira ordem, mas o fato de termos a potência
na forma original mostra a não linearidade da equação inicial.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear (quadrática em ).
Linearidade: não linear (quadrática em