Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-3 x \frac{d y}{d x}+2=0

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-3 x \frac{d y}{d x}+2=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{termos presentes: }\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2},\quad -3x\frac{d y}{d x},\quad 2.
O x é a variável independente e y a variável dependente. Não há termos com y sem derivada explícita.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO?
Definição: a ordem de uma equação diferencial ordinária é a maior ordem de derivada de y que aparece na equação. Por exemplo, se a equação envolve y'' (segunda derivada) mas não envolve y^{(3)}, a ordem é 2.
Aplicando isso aqui: os derivados que aparecem são apenas \frac{dy}{dx} (a primeira derivada). Não aparece \frac{d^2y}{dx^2} nem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
\text{ordem }=1.

Passo 3

O que significa “linearidade” de uma EDO?
Definição: uma EDO de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo independente g(x) são funções apenas da variável independente x. Em particular, a dependência em y e nas suas derivadas deve ser linear (ou seja: não existem produtos entre y ou suas derivadas, nem potências, nem funções não lineares como \sin(y'), etc.).
Exemplo simples de EDO linear de primeira ordem:
y'+p(x)\,y=q(x),
que é linear porque y' e y aparecem de forma linear.
Exemplo não linear:
\left(y'\right)^2+y=0,
é não linear porque aparece \left(y'\right)^2.

Passo 4

Aplicando o teste de linearidade à equação dada: ela contém o termo \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2, ou seja, a primeira derivada aparece elevada ao quadrado. Isso é um exemplo claro de dependência não linear em relação às derivadas de y. Mesmo que y próprio não apareça, a presença de \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 já quebra a linearidade, porque a forma linear exigiria termos como constantes vezes y' (não potências de y').
Portanto a equação não pode ser escrita na forma linear padrão dada acima.

Passo 5

Comentário adicional (útil na prova): podemos ver a equação como uma equação algébrica para p=\dfrac{dy}{dx}:
p^{2}-3xp+2=0.
Isto é uma equação quadrática em p. Resolvendo para p (apenas para exemplificar), teríamos
p=\frac{3x\pm\sqrt{9x^{2}-8}}{2},
o que dá duas possíveis expressões explícitas para y' em função de x. Mesmo assim, cada uma dessas expressões leva a uma equação de primeira ordem, mas o fato de termos a potência p^{2} na forma original mostra a não linearidade da equação inicial.

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: não linear (quadrática em \dfrac{dy}{dx}).

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