Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique, quanto à ordem e à linearidade, a equação diferencial dada. A equação fornecida é
Informações relevantes: a equação envolve derivadas de
até a segunda ordem (
), contém o termo
e tem no termo independente a constante
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO?
A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada de que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada que aparece é
(terceira derivada), a equação é de ordem
. Isso é simples: procuro a derivada de maior índice.
A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada de
Passo 3
Aplicando isso à equação
: a maior derivada que aparece é
, que é a segunda derivada de
. Portanto a ordem da EDO é
.
Passo 4
O que significa “linearidade” de uma EDO?
Uma EDO de ordem é linear se puder ser escrita na forma
Uma EDO de ordem
onde cada
e
dependem apenas da variável independente
(ou são constantes). “Linear” quer dizer que
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de
e somadas — nunca aparecem produtos entre
e
, nem potências como
, nem funções não lineares de
como
. Exemplos de termos que tornariam a equação não linear:
,
,
,
.
Passo 5
Analiso os termos da equação
em relação à forma linear:
- O termo associado à derivada de maior ordem é
, então aqui . - O termo envolvendo
é , então (que depende só de ). - O lado direito é
, que é uma função de constante, ou seja .
Não há produtos entree suas derivadas, nem potências de ou funções não lineares de . Portanto a dependência em é linear.
Passo 6
Conclusões detalhadas:
- A equação é de ordem
(maior derivada é ). - A equação é linear, porque
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (multiplicadas por funções de ). - Observação adicional útil para a prova: como
, a EDO é uma equação linear não homogênea. E como depende de , os coeficientes são variáveis (não constantes).
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (equação linear não homogênea de segunda ordem, com coeficientes dependentes de ; coeficiente de
é
).
Linearidade: linear (equação linear não homogênea de segunda ordem, com coeficientes dependentes de