Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
y^{\prime \prime}+e^{x} y=2

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique, quanto à ordem e à linearidade, a equação diferencial dada. A equação fornecida é
y'' + e^{x} y = 2.
Informações relevantes: a equação envolve derivadas de y até a segunda ordem ( y''), contém o termo e^{x}y e tem no termo independente a constante 2.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO?
A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada de y que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada que aparece é y^{(3)} (terceira derivada), a equação é de ordem 3. Isso é simples: procuro a derivada de maior índice.

Passo 3

Aplicando isso à equação \;y'' + e^{x} y = 2\;: a maior derivada que aparece é \;y''\;, que é a segunda derivada de y. Portanto a ordem da EDO é \;2\;.

Passo 4

O que significa “linearidade” de uma EDO?
Uma EDO de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_k(x) e g(x) dependem apenas da variável independente x (ou são constantes). “Linear” quer dizer que y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de x e somadas — nunca aparecem produtos entre y e y', nem potências como (y')^2, nem funções não lineares de y como \sin(y). Exemplos de termos que tornariam a equação não linear: y y', (y')^2, \sin(y), y^2.

Passo 5

Analiso os termos da equação \;y'' + e^{x} y = 2\; em relação à forma linear:
  • O termo associado à derivada de maior ordem é 1\cdot y'', então aqui a_2(x)=1.
  • O termo envolvendo y é e^{x}y, então a_0(x)=e^{x} (que depende só de x).
  • O lado direito é 2, que é uma função de x constante, ou seja g(x)=2.
    Não há produtos entre y e suas derivadas, nem potências de y ou funções não lineares de y. Portanto a dependência em y é linear.

Passo 6

Conclusões detalhadas:
  • A equação é de ordem \;2\; (maior derivada é \;y'').
  • A equação é linear, porque y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (multiplicadas por funções de x).
  • Observação adicional útil para a prova: como g(x)=2\neq 0, a EDO é uma equação linear não homogênea. E como a_0(x)=e^{x} depende de x, os coeficientes são variáveis (não constantes).

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear (equação linear não homogênea de segunda ordem, com coeficientes dependentes de x; coeficiente de y é e^{x}).

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