Classificar as equaçōes a seguir como homogênea ou exata e em seguida determinar a solução de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = 2xy, N(x,y) = x^2 + y^2
O conteúdo principal é reconhecer se a equação é exata (ou homogênea) e, se for exata, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N,
levando à solução implícita F(x,y) = C.

Passo 2

Testamos a exatidão calculando as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial y(2xy) = 2x, partial Npartial x = partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função F(x,y) tal que partial F/partial x = 2xy. Integramos em relação a x:
F(x,y) = integral 2xy,dx = x^2y + phi(y),
onde phi(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo partial F/partial y = N(x,y), temos
partialpartial yl(x^2y + phi(y)r) = x^2 + phi'(y) stackrel!= x^2 + y^2
Logo phi'(y)=y^2, e integrando em y obtemos phi(y)=tfracy^33. Portanto
F(x,y) = x^2y + y^33,
e a solução geral implícita é
x^2y + y^33 = C

Resposta

boxedx^2y + y^33 = C

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