Sejam R e S relações em A times B.
(a) R cup S, R cap S e R-S são relações em A times B ? Justifique sua resposta.
(b) R^C é uma relação de A em B ? Em caso afirmativo, como podemos definí-la?

Passo 1

O enunciado tem duas relações Rsubseteq Atimes B e Ssubseteq Atimes B. Por definição, uma relação de A em B é qualquer subconjunto de Atimes B. Precisamos:
  1. Verificar se Rcup S, Rcap S e Rsetminus S também são subconjuntos de Atimes B.
  2. Verificar se o complemento R^C é relação de A em B e como defini-lo.

Passo 2

Como Rsubseteq Atimes B e Ssubseteq Atimes B, temos imediatamente que:
  • Se (a,b)in Rcup S, então (a,b) está em R ou em S, logo em Atimes B. Assim
Rcup Ssubseteq Atimes B
  • Se (a,b)in Rcap S, então (a,b) está em R e em S, logo em Atimes B. Assim
Rcap Ssubseteq Atimes B
  • Se (a,b)in Rsetminus S, então (a,b)in Rsubseteq Atimes B. Assim
Rsetminus Ssubseteq Atimes B
Portanto, cada uma dessas operações gera um subconjunto de Atimes B, ou seja, são relações de A em B.

Passo 3

Definimos o complemento de R em relação ao universo Atimes B por
R^C ;=;(Atimes B)setminus R
Como R^C é também um subconjunto de Atimes B, ele é, por definição, uma relação de A em B.

Resposta

(a) Sim. Rcup S, Rcap S e Rsetminus S são relações em Atimes B porque são subconjuntos de Atimes B.
(b) Sim. O complemento é
R^C = (Atimes B)setminus R,
que também é uma relação de A em B.

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