Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
\sqrt{\rho^{\prime}+\rho}=\operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial \sqrt{\rho'( \theta ) + \rho(\theta)} = \sin\theta e pede para classificá-la quanto à ordem, ao grau e à linearidade. Para isso, vamos usar as definições:
  1. ordem: maior derivada que aparece na equação;
  2. grau: maior expoente da derivada, após eliminar radicais e frações, de modo a obter uma equação polinomial nas derivadas;
  3. linearidade: verifica se a equação pode ser escrita como combinação linear das derivadas (e de \rho) com coeficientes que dependem só de \theta.

Passo 2

Para identificar a ordem, basta observar a maior derivada presente. Aqui aparece apenas \rho'(\theta), ou seja, a derivada de primeira ordem. Logo, a equação é de ordem \displaystyle 1.

Passo 3

Para achar o grau, precisamos que a equação seja um polinômio em \rho'. Primeiro eliminamos o radical elevando ao quadrado ambos os lados:
\bigl(\sqrt{\rho' + \rho}\bigr)^{2} = (\sin\theta)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \rho' + \rho = \sin^{2}\theta.
Agora temos uma equação polinomial em \rho', na qual \rho' aparece com expoente 1. Portanto, o grau é \displaystyle 1.

Passo 4

A forma obtida
\rho' + \rho = \sin^{2}\theta
é da forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem,
\rho' + a(\theta)\,\rho = b(\theta),
com a(\theta)=1 e b(\theta)=\sin^{2}\theta. Assim, a equação é linear.

Resposta

Ordem: 1
Grau: 1
Linear

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