Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
\frac{d^{2} v}{d x^{2}}+x\left(\frac{d v}{d x}\right)^{2}+v=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2}v}{d x^{2}} + x\Bigl(\frac{d v}{d x}\Bigr)^{2} + v = 0
e pede para classificá-la quanto à ordem, ao grau e à linearidade. Vamos usar as definições padrão:
– ordem é a maior derivada presente;
– grau é o expoente da maior derivada quando a equação está livre de frações e radicais;
– é linear se v e suas derivadas aparecem apenas com expoente 1 e sem produtos entre si.

Passo 2

Para determinar a ordem, observamos a derivada de maior ordem na equação, que é \displaystyle \frac{d^{2}v}{d x^{2}}.
Logo, a equação é de segunda ordem.

Passo 3

Para o grau, precisamos ver o expoente da maior derivada depois de eliminar quaisquer radicais ou denominadores. Aqui a equação já é polinomial em \frac{d^{2}v}{d x^{2}}, pois não há frações ou raízes envolvendo essa derivada, e ela aparece com expoente 1. Assim, o grau é 1.

Passo 4

Quanto à linearidade, verificamos se há produtos ou potências das incógnitas e de suas derivadas. Note que existe o termo \displaystyle x\Bigl(\frac{d v}{d x}\Bigr)^{2},
ou seja, \frac{d v}{d x} aparece elevado ao quadrado, caracterizando não-linearidade. Portanto, a equação é não linear.

Resposta

Ordem: 2
Grau: 1
Linearidade: não linear

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