Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
Para certa substância, a razão de variação da pressão do vapor § em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de variação da pressão de vapor P em função da temperatura T é proporcional a P e inversamente proporcional a T^2. O conteúdo é equação diferencial ordinária de primeira ordem, que vamos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Traduzindo em equação diferencial, existe constante de proporcionalidade k tal que
\frac{dP}{dT} = k\,\frac{P}{T^2}.

Passo 3

Separamos variáveis:
\frac{dP}{P} = k\,\frac{dT}{T^2}.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dP}{P} = \int k\,T^{-2}\,dT \quad\Longrightarrow\quad \ln P = -\frac{k}{T} + C,
em que C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral
P(T) = A \exp\bigl(-\tfrac{k}{T}\bigr),
onde A = e^C. Se houver uma condição inicial P(T_0)=P_0, então
A = P_0 \exp\bigl(\tfrac{k}{T_0}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad P(T) = P_0 \exp\!\Bigl[k\bigl(\tfrac{1}{T_0}-\tfrac{1}{T}\bigr)\Bigr].

Resposta

\displaystyle \frac{dP}{dT} = k\,\frac{P}{T^2}, com solução geral
P(T) = A \exp\bigl(-\tfrac{k}{T}\bigr)
e, usando P(T_0)=P_0,
P(T) = P_0 \exp\!\Bigl[k\bigl(\tfrac{1}{T_0}-\tfrac{1}{T}\bigr)\Bigr].

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