Resolva as equações separáveis a seguir.
\left(x^{2}+1\right) d x+\frac{1}{y} d y=0 ; y(-1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO separável
(x^2 + 1)\,dx + \frac{1}{y}\,dy = 0
com condição inicial y(-1)=1. Para resolver, vamos separar as variáveis x e y e integrar cada lado.

Passo 2

Separamos variáveis colocando termos em y de um lado e em x de outro:
\frac{1}{y}\,dy = -(x^2 + 1)\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -(x^2 + 1)\,dx.

Passo 3

As integrais são
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| \quad\text{e}\quad \int -(x^2 + 1)\,dx = -\frac{x^3}{3} - x + C,
onde C é a constante de integração. Logo, obtemos a solução implícita
\ln|y| = -\frac{x^3}{3} - x + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(-1)=1. Substituindo x=-1 e y=1 na expressão acima:
\ln|1| = 0 = -\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) -(-1) + C = \tfrac{1}{3} + 1 + C = \tfrac{4}{3} + C,
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C = -\frac{4}{3}.

Passo 5

Substituindo C na solução implícita e exponenciando, temos
\ln|y| = -\frac{x^3}{3} - x - \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad y = \exp\Bigl(-\tfrac{x^3}{3} - x - \tfrac{4}{3}\Bigr).

Resposta

y(x) = \exp\Bigl(-\frac{x^3}{3} - x - \frac{4}{3}\Bigr).

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