Classificar a relação
definida em
mediante
Passo 1
Beleza, manda ver: a gente tem uma relação em ℤ² dada por
O que a gente precisa é classificar essa relação: ela é reflexiva, simétrica, transitiva? Lembra que:
• Reflexiva significa todo par se relaciona consigo mesmo.
• Simétrica significa se (a,b) está ligado a (a’,b’), então (a’,b’) tá ligado a (a,b).
• Transitiva significa se (a,b)~(a’,b’) e (a’,b’)~(a’’,b’’), então (a,b)~(a’’,b’’).
• Reflexiva significa todo par se relaciona consigo mesmo.
• Simétrica significa se (a,b) está ligado a (a’,b’), então (a’,b’) tá ligado a (a,b).
• Transitiva significa se (a,b)~(a’,b’) e (a’,b’)~(a’’,b’’), então (a,b)~(a’’,b’’).
Passo 2
Vamos ver a reflexividade. Pega qualquer
. Então
é sempre verdade em ℤ (porque multiplicação comuta). Logo
para todo
. Concluímos que a relação é reflexiva.
Passo 3
Agora, simetria. Suponha que
ou seja
Mas aí é só reescrever
que é exatamente a condição para
Então, se (a,b) tá ligado a (a’,b’), o inverso também rola. É simétrica.
Passo 4
Por fim, transitividade. A gente checa: se
teríamos
Para ser transitiva, precisaríamos que
. Mas isso nem sempre vale. Por exemplo:
• e
:
•
•
e
:
Mas
e
:
Então
. Falhou a transitividade.
Resposta
A relação é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva.