Classificar a relação R definida em Z^2 mediante
(a, b) R(a^prime, b^prime) Leftrightarrow a b^prime=b a^prime

Passo 1

Beleza, manda ver: a gente tem uma relação em ℤ² dada por
(a,b),R,(a',b') iff a,b' = b,a'
O que a gente precisa é classificar essa relação: ela é reflexiva, simétrica, transitiva? Lembra que:
• Reflexiva significa todo par se relaciona consigo mesmo.
• Simétrica significa se (a,b) está ligado a (a’,b’), então (a’,b’) tá ligado a (a,b).
• Transitiva significa se (a,b)~(a’,b’) e (a’,b’)~(a’’,b’’), então (a,b)~(a’’,b’’).

Passo 2

Vamos ver a reflexividade. Pega qualquer acdot b ;=; bcdot a . Então
(a,b),R,(a,b)
é sempre verdade em ℤ (porque multiplicação comuta). Logo
para todo . Concluímos que a relação é reflexiva.

Passo 3

Agora, simetria. Suponha que
(a,b),R,(a',b'),
ou seja
a,b' ;=; b,a'
Mas aí é só reescrever
b,a' ;=; a,b',
que é exatamente a condição para
(a',b'),R,(a,b)
Então, se (a,b) tá ligado a (a’,b’), o inverso também rola. É simétrica.

Passo 4

Por fim, transitividade. A gente checa: se
(a,b),R,(a',b')e(a',b'),R,(a'',b''),
teríamos
a,b' = b,a' e a',b'' = b',a''
Para ser transitiva, precisaríamos que 1cdot 0 = 2cdot 0 checkmark . Mas isso nem sempre vale. Por exemplo:
0cdot 4 = 0cdot 3 checkmark e 1cdot 4 = 4, 2cdot 3 = 6, 4neq 6 :
e :
Mas e :
Então . Falhou a transitividade.

Resposta

A relação é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva.

Exercícios relacionados