Em
consideremos a relação
Definir
por extensão e Classificar
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos o conjunto
e a relação
O conteúdo é “teoria de relações”: vamos precisar listar todos os pares de
(por extensão) e depois usar as definições de reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva para classificar a relação.
Passo 2
Vamos encontrar todos os pares
que satisfazem
-
, ou -
. - Para
em :
. - Para
em : as únicas soluções são e .
Logo, por extensão,
Passo 3
Verificando reflexividade:
Definição: é reflexiva se
Definição:
Aqui verificamos que
estão todos em
.
Logo, é reflexiva.
Logo,
Passo 4
Verificando simetria:
Definição: é simétrica se
Definição:
Nosso conjunto tem
e também tem
. Os pares diagonais
são sempre simétricos.
Logo, é simétrica.
Logo,
Passo 5
Verificando antissimetria:
Definição: é antissimétrica se
Definição:
Mas aqui temos
e
em
com
. Isso viola a antissimetria.
Logo, não é antissimétrica.
Logo,
Passo 6
Verificando transitividade:
Definição: é transitiva se
Definição:
Precisamos checar todas as cadeias de pares em
.
- Se qualquer dos pares for diagonal
, a conclusão cai em já na relação. - O único “não-diagonal” é entre 1 e 2, e de fato:
-
, que está em . -
, também em .
Não há outras combinações problemáticas.
Logo,é transitiva.
-
Resposta
Por extensão:
Classificação:
- Reflexiva: sim
- Simétrica: sim
- Antissimétrica: não
- Transitiva: sim
Como é reflexiva, simétrica e transitiva,é uma relação de equivalência.