Em A=1,2,3,4 consideremos a relação
R=(x, y) in A^2: x=y vee x+y=3
Definir R por extensão e Classificar R.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o conjunto
A = 1,2,3,4
e a relação
R = (x,y)in A^2 : x=y vee x+y=3
O conteúdo é “teoria de relações”: vamos precisar listar todos os pares de (por extensão) e depois usar as definições de reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva para classificar a relação.

Passo 2

Vamos encontrar todos os pares R = , (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),,(1,2),(2,1) que satisfazem
  1. , ou
  2. .
  3. Para em :
    .
  4. Para em : as únicas soluções são e .
    Logo, por extensão,

Passo 3

Verificando reflexividade:
Definição: forall xin A,;(x,x)in R é reflexiva se
Aqui verificamos que estão todos em .
Logo, é reflexiva.

Passo 4

Verificando simetria:
Definição: forall x,yin A,;(x,y)in Rimplies(y,x)in R é simétrica se
Nosso conjunto tem e também tem . Os pares diagonais são sempre simétricos.
Logo, é simétrica.

Passo 5

Verificando antissimetria:
Definição: forall x,yin A,;[(x,y)inRland(y,x)inR]implies x=y é antissimétrica se
Mas aqui temos e em com . Isso viola a antissimetria.
Logo, não é antissimétrica.

Passo 6

Verificando transitividade:
Definição: forall x,y,zin A,;[(x,y)inRland(y,z)inR]implies(x,z)inR é transitiva se
Precisamos checar todas as cadeias de pares em .
  • Se qualquer dos pares for diagonal , a conclusão cai em já na relação.
  • O único “não-diagonal” é entre 1 e 2, e de fato:
    • , que está em .
    • , também em .
      Não há outras combinações problemáticas.
      Logo, é transitiva.

Resposta

Por extensão:
R=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)
Classificação:
  • Reflexiva: sim
  • Simétrica: sim
  • Antissimétrica: não
  • Transitiva: sim
    Como é reflexiva, simétrica e transitiva, é uma relação de equivalência.

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