Classificar e representar a relação
definida por
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma relação
tal que
ou seja,
, isto é,
.
O conteúdo aqui é “relação em conjuntos” — mais especificamente classificação de relações (reflexiva, simétrica etc.) e representação geométrica no plano.
Para resolver, a gente vai precisar:
O conteúdo aqui é “relação em conjuntos” — mais especificamente classificação de relações (reflexiva, simétrica etc.) e representação geométrica no plano.
Para resolver, a gente vai precisar:
- lembrar as definições de cada propriedade de relação;
- checar cada propriedade para
; - ver se é total (conexa) ou não;
- desenhar/região
no plano.
Passo 2
Definição de reflexiva:
Uma relação em
é reflexiva se, para todo
,
.
Aqui:
Uma relação
Aqui:
Mas
(que só tem números estritamente positivos).
Logo para todo
.
Conclusão: NÃO é reflexiva.
Logo
Conclusão:
Passo 3
Definição de simétrica:
é simétrica se, sempre que
, vem também
.
Na nossa, significa
.
Se , não dá pra ter
ao mesmo tempo.
Logo, não é simétrica (se fosse, sempre teríamos a volta, mas não há).
Na nossa,
Se
Logo,
Passo 4
Definição de antissimétrica:
é antissimétrica se
implica
.
No nosso caso, e
nunca ocorrem juntos (pois não dá
e
).
Isso faz a condição “ e
” sempre falsa, e uma implicação com antecedente falso é sempre verdadeira.
Logo, de forma vacuamente verdadeira, é antissimétrica.
Além disso, vale falar que é até mais forte: é assimétrica (se
, automaticamente não pode ter
).
No nosso caso,
Isso faz a condição “
Logo, de forma vacuamente verdadeira,
Além disso, vale falar que
Passo 5
Definição de transitiva:
é transitiva se, sempre que
e
, então
.
Aqui:
se e
, a gente sabe da propriedade dos reais que
.
Então é transitiva.
Aqui:
se
Então
Passo 6
Definição de total (ou conexa):
Uma relação em
é total se, para todo par
, vale
ou
.
Nos reais, dados , sempre um é maior que o outro.
Logo, ou ou
, então
é total.
Uma relação
Nos reais, dados
Logo, ou
Passo 7
Juntando tudo:
- não é reflexiva;
- é assimétrica (logo antissimétrica);
- é transitiva;
- é total.
Isso caracteriza uma ordem estrita total (uma “ordem >” nos reais).
Geometricamente,
No plano
, é toda a região acima da reta
, sem incluir a reta.
Resposta
A relação
é uma ordem estrita total (a relação “>” em
) e, graficamente, corresponde à região
, ou seja, o interior acima da linha
.