Classificar e representar a relação R subseteq R^2 definida por
(x, y) in R Leftrightarrow x-y in R^+

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma relação
(x,y)inRLong<=ftrightarrow x - y in R^+, tal que
ou seja, , isto é, .
O conteúdo aqui é “relação em conjuntos” — mais especificamente classificação de relações (reflexiva, simétrica etc.) e representação geométrica no plano.
Para resolver, a gente vai precisar:
  1. lembrar as definições de cada propriedade de relação;
  2. checar cada propriedade para ;
  3. ver se é total (conexa) ou não;
  4. desenhar/região no plano.

Passo 2

Definição de reflexiva:
Uma relação x - x = 0 em é reflexiva se, para todo , .
Aqui:
Mas (que só tem números estritamente positivos).
Logo para todo .
Conclusão: NÃO é reflexiva.

Passo 3

Definição de simétrica:
é simétrica se, sempre que , vem também .
Na nossa, significa .
Se , não dá pra ter ao mesmo tempo.
Logo, não é simétrica (se fosse, sempre teríamos a volta, mas não há).

Passo 4

Definição de antissimétrica:
é antissimétrica se implica .
No nosso caso, e nunca ocorrem juntos (pois não dá e ).
Isso faz a condição “ e ” sempre falsa, e uma implicação com antecedente falso é sempre verdadeira.
Logo, de forma vacuamente verdadeira, é antissimétrica.
Além disso, vale falar que é até mais forte: é assimétrica (se , automaticamente não pode ter ).

Passo 5

Definição de transitiva:
é transitiva se, sempre que e , então .
Aqui:
se e , a gente sabe da propriedade dos reais que .
Então é transitiva.

Passo 6

Definição de total (ou conexa):
Uma relação em é total se, para todo par , vale ou .
Nos reais, dados , sempre um é maior que o outro.
Logo, ou ou , então é total.

Passo 7

Juntando tudo:
  • não é reflexiva;
  • é assimétrica (logo antissimétrica);
  • é transitiva;
  • é total.
    Isso caracteriza uma ordem estrita total (uma “ordem >” nos reais).
Geometricamente,
R ;=;(x,y)inR^2 mid x>y
No plano , é toda a região acima da reta , sem incluir a reta.

Resposta

A relação é uma ordem estrita total (a relação “>” em ) e, graficamente, corresponde à região , ou seja, o interior acima da linha .

Exercícios relacionados