Em N^2 se considera a seguinte relação:
(a, b) R(a^prime, b^prime) Leftrightarrow a+b^prime=b+a^prime
Classificar R.

Passo 1

Beleza, a questão diz que em ℕ² definimos uma relação
(a,b),R,(a',b');Long<=ftrightarrow;a + b' = b + a'
A tarefa é “classificar” essa relação, ou seja, ver se ela é reflexiva, simétrica e transitiva (ou outro tipo de relação). Vamos usar o que vimos em teoria de relações binárias: as definições de reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificando reflexividade: toda relação é reflexiva se, para qualquer par (a,b),R,(a,b) , valer
Aqui isso dá: , que é sempre verdade (a soma em ℕ é comutativa).
Logo, é reflexiva.

Passo 3

Verificando simetria: ela é simétrica se sempre que
(a,b),R,(a',b')então (a',b'),R,(a,b) ã
Se , é óbvio que . Isso mostra que trocar os pares continua satisfazendo a mesma equação, logo é simétrica.

Passo 4

Verificando transitividade: ela é transitiva se, sempre que
(a,b),R,(a',b') e (a',b'),R,(a'',b''),
então deveremos ter
(a,b),R,(a'',b'')
Das duas hipóteses tiramos:
  1. ,
  2. .
    Da 1) vem e da 2) vem .
    Logo , que equivale a .
    Isso prova a transitividade.

Passo 5

Como a - b = a' - b', é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que ela é uma relação de equivalência em .
Além disso, dá pra perceber que dois pares e são equivalentes exatamente quando
ou seja, compartilham a mesma diferença.

Resposta

é uma relação de equivalência em .

Exercícios relacionados