Em
se considera a seguinte relação:
Classificar
.
Passo 1
Beleza, a questão diz que em ℕ² definimos uma relação
A tarefa é “classificar” essa relação, ou seja, ver se ela é reflexiva, simétrica e transitiva (ou outro tipo de relação). Vamos usar o que vimos em teoria de relações binárias: as definições de reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificando reflexividade: toda relação é reflexiva se, para qualquer par
, valer
Aqui isso dá:
, que é sempre verdade (a soma em ℕ é comutativa).
Logo, é reflexiva.
Logo,
Passo 3
Verificando simetria: ela é simétrica se sempre que
Se
, é óbvio que
. Isso mostra que trocar os pares continua satisfazendo a mesma equação, logo
é simétrica.
Passo 4
Verificando transitividade: ela é transitiva se, sempre que
então deveremos ter
Das duas hipóteses tiramos:
-
, -
.
Da 1) veme da 2) vem .
Logo, que equivale a .
Isso prova a transitividade.
Passo 5
Como
é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que ela é uma relação de equivalência em
.
Além disso, dá pra perceber que dois pares e
são equivalentes exatamente quando
Além disso, dá pra perceber que dois pares
ou seja, compartilham a mesma diferença.