Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
\frac{d y}{d t}=y-1. Mostre a soluçăo de equilibrio.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dt}=y-1.
O que é pedido:
  • Classificar a equação diferencial.
  • Encontrar (resolver) a solução geral y(t).
  • Mostrar a(s) solução(ões) de equilíbrio (soluções constantes) e comentar sobre elas.

Passo 2

Primeiro passo prático: procurar soluções constantes (equilíbrios). Uma solução constante é uma função y(t) que não depende de t, logo \dfrac{dy}{dt}=0. Substituindo na equação dada:
0 = y-1.
Então qualquer solução constante deve satisfazer
y=1.
Portanto \;y(t)=1\; é uma solução de equilíbrio (constante). Isso responde parte do pedido de forma direta — agora vamos resolver a equação geral.

Passo 3

Escolhendo um método simples: a equação pode ser tratada por separação de variáveis (é também linear e autônoma, mas separação é direta). Vamos assumir primeiro y\neq1 (o caso constante já está identificado) e separar as variáveis:
\frac{dy}{dt}=y-1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y-1}=dt.
Aqui coloquei todas as expressões em y no lado esquerdo e t no direito — isso é a ideia da separação de variáveis.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t (ou integrar o lado esquerdo em y e o direito em t):
\int \frac{dy}{y-1}=\int dt.
A integral do lado esquerdo é um logaritmo:
\ln|y-1| = t + C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 5

Agora isolamos y. Exponenciando ambos os lados:
|y-1| = e^{t + C_1} = e^{C_1} e^{t}.
Definindo C:=\pm e^{C_1} (assim C pode ser qualquer número real, incluindo 0 se quisermos cobrir a solução constante), obtemos sem o valor absoluto:
y-1 = C e^{t}.
Portanto a solução geral é
y(t)=1 + C e^{t},
com C\in\mathbb{R}. Note que o caso C=0 recupera a solução de equilíbrio y(t)=1 já encontrada.

Passo 6

Relação com condição inicial: se for dado y(t_0)=y_0, então
C = (y_0-1)e^{-t_0},
então a solução com essa condição inicial é
y(t)=1 + (y_0-1)e^{t-t_0}.
No caso usual t_0=0 isso vira y(t)=1+(y_0-1)e^{t}.

Passo 7

Classificação e comentário sobre estabilidade:
  • Classificação: é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. É autônoma (o lado direito depende só de y, não de t), separável e linear (pode ser escrita como \dfrac{dy}{dt}-y=-1).
  • Estabilidade do equilíbrio y=1: da solução geral temos
y(t)-1 = C e^{t}.
Para t\to+\infty o termo C e^{t} explode (a menos que C=0), então pequenas perturbações do equilíbrio crescem exponencialmente — por isso y=1 é um ponto de equilíbrio instável (repulsor) no sentido do tempo para frente. Para t\to -\infty qualquer solução com C\neq0 tende a 1, então é atraente no passado, mas na prática em evolução para frente o equilíbrio é instável.

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, autônoma, separável e linear.
Solução geral: y(t)=1 + C e^{t}, com C\in\mathbb{R}.
Solução de equilíbrio: y(t)=1.
Estabilidade do equilíbrio y=1: instável (repulsivo) para t\to+\infty.

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