Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
. Mostre a soluçăo de equilibrio.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido:
- Classificar a equação diferencial.
- Encontrar (resolver) a solução geral
. - Mostrar a(s) solução(ões) de equilíbrio (soluções constantes) e comentar sobre elas.
Passo 2
Primeiro passo prático: procurar soluções constantes (equilíbrios). Uma solução constante é uma função
que não depende de
, logo
. Substituindo na equação dada:
Então qualquer solução constante deve satisfazer
Portanto
é uma solução de equilíbrio (constante). Isso responde parte do pedido de forma direta — agora vamos resolver a equação geral.
Passo 3
Escolhendo um método simples: a equação pode ser tratada por separação de variáveis (é também linear e autônoma, mas separação é direta). Vamos assumir primeiro
(o caso constante já está identificado) e separar as variáveis:
Aqui coloquei todas as expressões em
no lado esquerdo e
no direito — isso é a ideia da separação de variáveis.
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
(ou integrar o lado esquerdo em
e o direito em
):
A integral do lado esquerdo é um logaritmo:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Agora isolamos
. Exponenciando ambos os lados:
Definindo
(assim
pode ser qualquer número real, incluindo
se quisermos cobrir a solução constante), obtemos sem o valor absoluto:
Portanto a solução geral é
com
. Note que o caso
recupera a solução de equilíbrio
já encontrada.
Passo 6
Relação com condição inicial: se for dado
, então
então a solução com essa condição inicial é
No caso usual
isso vira
.
Passo 7
Classificação e comentário sobre estabilidade:
- Classificação: é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. É autônoma (o lado direito depende só de
, não de ), separável e linear (pode ser escrita como ). - Estabilidade do equilíbrio
: da solução geral temos
Para
o termo
explode (a menos que
), então pequenas perturbações do equilíbrio crescem exponencialmente — por isso
é um ponto de equilíbrio instável (repulsor) no sentido do tempo para frente. Para
qualquer solução com
tende a
, então é atraente no passado, mas na prática em evolução para frente o equilíbrio é instável.
Resposta
Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, autônoma, separável e linear.
Solução geral: , com
.
Solução de equilíbrio: .
Estabilidade do equilíbrio : instável (repulsivo) para
.
Solução geral:
Solução de equilíbrio:
Estabilidade do equilíbrio