Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
\frac{d y}{d x}=x y. Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=x\,y
e pede que eu:
  • classifique a EDO (que tipo é);
  • resolva a EDO (encontre a solução geral);
  • esboce (descreva) o gráfico das soluções.
Informações importantes fornecidas:
  • Não há condição inicial: então vamos obter a solução geral com constante arbitrária.
  • A variável independente é x e a dependente é y(x).

Passo 2

Classificação da EDO — explicando o que cada termo significa (passo bem didático):
  • É uma equação diferencial ordinária porque envolve derivada em relação a uma única variável x.
  • É de primeira ordem porque aparece apenas \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a maior derivada é de ordem 1.
  • Pode ser escrita na forma linear padrão
\frac{dy}{dx}-x\,y=0,
portanto é uma equação linear de primeira ordem. Aqui a função p(x)=-x aparece multiplicando y e o termo do lado direito é q(x)=0, o que a torna uma equação linear homogênea (já que q(x)=0).
  • Também é separável, porque podemos reorganizar para colocar todos os termos em y de um lado e os em x do outro (isto é, pode ser escrita como f(y)\,dy = g(x)\,dx).
Obs.: eu não resolvo ainda; só identifiquei as características e justifiquei de forma simples.

Passo 3

Escolha do método de resolução:
  • Como a equação é separável e isso costuma ser o jeito mais direto, vou usar separação de variáveis.
  • Como alternativa (apenas para referência) poderia usar fator integrante por ser linear; mostrarei isso rapidamente depois como cheque.

Passo 4

Resolução pela separação de variáveis — passo a passo bem detalhado:
  1. Parto da equação
\frac{dy}{dx}=x\,y.
  1. Primeiro trato a solução trivial: y\equiv 0 satisfaz a equação, porque então \dfrac{dy}{dx}=0 e x\cdot 0=0. Essa é uma solução válida (equilíbrio).
  2. Para soluções não identicamente zero, posso dividir por y (assumindo y\neq 0 localmente) e separar as variáveis:
\frac{1}{y}\,dy = x\,dx.
Aqui explicando: dividir por y coloca tudo que depende de y à esquerda e tudo que depende de x à direita — isso é a ideia da separação de variáveis.
4) Agora integro ambos os lados. Integração indefinida:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx.
  1. Calculo as integrais (detalhando as primitivadas):
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1, \qquad \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_2.
  1. Igualando e juntando constantes (podemos subtrair C_2 e escrever uma única constante C):
\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C,
onde C = C_2 - C_1 é uma constante arbitrária real.
7) Exponenciando para isolar y:
|y| = e^{C}\,e^{\frac{x^2}{2}}.
Definindo A=e^{C}>0 e permitindo sinal, obtemos a forma geral
y = K\,e^{\frac{x^2}{2}},
onde K é qualquer constante real (se K=0 recuperamos a solução trivial y\equiv 0). Aqui K representa a constante de integração que fixa a curva dentro da família de soluções.

Passo 5

Checagem rápida pelo método do fator integrante (alternativa, curta e didática):
  1. Escrevendo a EDO na forma linear padrão:
\frac{dy}{dx}-x\,y=0,
então p(x)=-x.
2) Fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -x\,dx\right)=\exp\!\left(-\frac{x^2}{2}\right).
  1. Multiplicando a equação por \mu(x)
\frac{d}{dx}\!\left(\mu(x)\,y\right)=0,
logo \mu(x)\,y=C e assim
y=C\,e^{\frac{x^2}{2}},
o que coincide com o resultado pela separação de variáveis. Bom sinal — consistência!

Passo 6

Interpretação e condições iniciais (como usar na prova):
  • A solução geral é
y(x)=C\,e^{\frac{x^2}{2}},\qquad C\in\mathbb{R}.
  • Se for dada uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, a constante determina-se por
C = y_0\,e^{-\frac{x_0^2}{2}}.
  • Sobre existência e unicidade: a função f(x,y)=x\,y é contínua e Lipschitz em y em qualquer retângulo do plano x,y, portanto pelo teorema de existência e unicidade a solução que passa por um ponto (x_0,y_0) existe e é única para todos x (ou seja, a solução global dada acima é válida em toda a reta real).

Passo 7

Descrição detalhada do esboço do gráfico (para você desenhar fácil na prova):
  • Famílias de curvas: y(x)=C\,e^{\frac{x^2}{2}} com diferentes C.
  • Propriedades da função multiplicadora e^{\frac{x^2}{2}}:
    • É sempre positiva: e^{\frac{x^2}{2}}>0 para todo x.
    • É uma função par (mesmo), pois depende de x^2: e^{\frac{x^2}{2}}=e^{\frac{(-x)^2}{2}}.
    • Tem mínimo em x=0 com valor 1, e cresce fortemente para +\infty quando |x|\to\infty.
  • Consequências para as soluções:
    • Se C>0: curva positiva para todo x, mínima em x=0 com y(0)=C, simétrica em torno do eixo y quanto à forma (mesmo valor para x e -x).
    • Se C<0: curva negativa para todo x, máxima (mais perto do zero) em x=0 com y(0)=C (valor negativo).
    • Se C=0: a solução é a reta y\equiv 0.
  • Comportamento das inclinações (field de direções):
    • A inclinação no ponto (x,y) é x\,y.
    • No eixo x=0: \dfrac{dy}{dx}=0 para qualquer y — tangente horizontal em todas as curvas quando cruzam x=0.
    • No eixo y=0: \dfrac{dy}{dx}=0 — a solução y\equiv 0 é uma solução constante.
    • Para C>0: para x>0 a derivada é positiva (curva sobe), para x<0 a derivada é negativa (curva desce), por isso o mínimo em x=0.
  • Pontos numéricos para facilitar o esboço (use na prova para marcar):
    • Tomando C=1: y(0)=1, y(1)=e^{1/2}\approx 1{,}6487, y(2)=e^{2}\approx 7{,}389.
    • Tomando C=-1: mesmos valores absolutos com sinal negativo.
  • Instruções práticas para desenhar: trace o eixo x e y. Desenhe a solução y\equiv 0. Para C=1 marque o ponto (0,1) e desenhe uma curva simétrica que cresce rapidamente para as duas pontas. Faça outro para C=2 e um negativo C=-1. Lembre-se que todas as curvas não se cruzam (unicidade): duas curvas com constantes diferentes nunca se encontram.

Passo 8

Resumo final curto antes da resposta (para fixar): classifiquei como EDO ordinária de primeira ordem, linear homogênea e separável; resolvi por separação e confirmei por fator integrante; solução geral y=C\,e^{x^2/2}; comportamento do gráfico descrito acima para desenhar na prova.

Resposta

Classificação: EDO ordinária de primeira ordem, linear homogênea e separável.
Solução geral: y(x)=C\,e^{\frac{x^2}{2}},\qquad C\in\mathbb{R}.
Esboço (descrição): família de curvas y=C\,e^{\frac{x^2}{2}}. Para C>0 são curvas positivas com mínimo em x=0 de valor C; para C<0 são curvas negativas com máximo (menos negativo) em x=0; y\equiv 0 corresponde a C=0. Todas são simétricas em x e crescem rapidamente quando |x|\to\infty.

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