Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede que eu:
- classifique a EDO (que tipo é);
- resolva a EDO (encontre a solução geral);
- esboce (descreva) o gráfico das soluções.
Informações importantes fornecidas:
- Não há condição inicial: então vamos obter a solução geral com constante arbitrária.
- A variável independente é
e a dependente é .
Passo 2
Classificação da EDO — explicando o que cada termo significa (passo bem didático):
- É uma equação diferencial ordinária porque envolve derivada em relação a uma única variável
. - É de primeira ordem porque aparece apenas
, ou seja, a maior derivada é de ordem . - Pode ser escrita na forma linear padrão
portanto é uma equação linear de primeira ordem. Aqui a função
aparece multiplicando
e o termo do lado direito é
, o que a torna uma equação linear homogênea (já que
).
- Também é separável, porque podemos reorganizar para colocar todos os termos em
de um lado e os em do outro (isto é, pode ser escrita como ).
Obs.: eu não resolvo ainda; só identifiquei as características e justifiquei de forma simples.
Passo 3
Escolha do método de resolução:
- Como a equação é separável e isso costuma ser o jeito mais direto, vou usar separação de variáveis.
- Como alternativa (apenas para referência) poderia usar fator integrante por ser linear; mostrarei isso rapidamente depois como cheque.
Passo 4
Resolução pela separação de variáveis — passo a passo bem detalhado:
- Parto da equação
- Primeiro trato a solução trivial:
satisfaz a equação, porque então e . Essa é uma solução válida (equilíbrio). - Para soluções não identicamente zero, posso dividir por
(assumindo localmente) e separar as variáveis:
Aqui explicando: dividir por
coloca tudo que depende de
à esquerda e tudo que depende de
à direita — isso é a ideia da separação de variáveis.
4) Agora integro ambos os lados. Integração indefinida:
4) Agora integro ambos os lados. Integração indefinida:
- Calculo as integrais (detalhando as primitivadas):
- Igualando e juntando constantes (podemos subtrair
e escrever uma única constante ):
onde
é uma constante arbitrária real.
7) Exponenciando para isolar :
7) Exponenciando para isolar
Definindo
e permitindo sinal, obtemos a forma geral
onde
é qualquer constante real (se
recuperamos a solução trivial
). Aqui
representa a constante de integração que fixa a curva dentro da família de soluções.
Passo 5
Checagem rápida pelo método do fator integrante (alternativa, curta e didática):
- Escrevendo a EDO na forma linear padrão:
então
.
2) Fator integrante é
2) Fator integrante
- Multiplicando a equação por
dá
logo
e assim
o que coincide com o resultado pela separação de variáveis. Bom sinal — consistência!
Passo 6
Interpretação e condições iniciais (como usar na prova):
- A solução geral é
- Se for dada uma condição inicial do tipo
, a constante determina-se por
- Sobre existência e unicidade: a função
é contínua e Lipschitz em em qualquer retângulo do plano , portanto pelo teorema de existência e unicidade a solução que passa por um ponto existe e é única para todos (ou seja, a solução global dada acima é válida em toda a reta real).
Passo 7
Descrição detalhada do esboço do gráfico (para você desenhar fácil na prova):
- Famílias de curvas:
com diferentes . - Propriedades da função multiplicadora
: - É sempre positiva:
para todo . - É uma função par (mesmo), pois depende de
: . - Tem mínimo em
com valor , e cresce fortemente para quando .
- É sempre positiva:
- Consequências para as soluções:
- Se
: curva positiva para todo , mínima em com , simétrica em torno do eixo quanto à forma (mesmo valor para e ). - Se
: curva negativa para todo , máxima (mais perto do zero) em com (valor negativo). - Se
: a solução é a reta .
- Se
- Comportamento das inclinações (field de direções):
- A inclinação no ponto
é . - No eixo
: para qualquer — tangente horizontal em todas as curvas quando cruzam . - No eixo
: — a solução é uma solução constante. - Para
: para a derivada é positiva (curva sobe), para a derivada é negativa (curva desce), por isso o mínimo em .
- A inclinação no ponto
- Pontos numéricos para facilitar o esboço (use na prova para marcar):
- Tomando
: , , . - Tomando
: mesmos valores absolutos com sinal negativo.
- Tomando
- Instruções práticas para desenhar: trace o eixo
e . Desenhe a solução . Para marque o ponto e desenhe uma curva simétrica que cresce rapidamente para as duas pontas. Faça outro para e um negativo . Lembre-se que todas as curvas não se cruzam (unicidade): duas curvas com constantes diferentes nunca se encontram.
Passo 8
Resumo final curto antes da resposta (para fixar): classifiquei como EDO ordinária de primeira ordem, linear homogênea e separável; resolvi por separação e confirmei por fator integrante; solução geral
; comportamento do gráfico descrito acima para desenhar na prova.
Resposta
Classificação: EDO ordinária de primeira ordem, linear homogênea e separável.
Solução geral:
Esboço (descrição): família de curvas
. Para
são curvas positivas com mínimo em
de valor
; para
são curvas negativas com máximo (menos negativo) em
;
corresponde a
. Todas são simétricas em
e crescem rapidamente quando
.