Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações dá:
- Pede: “Classificar e resolver” a equação diferencial ordinária dada.
- A EDO fornecida é
- Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma equação envolvendo derivadas até a segunda ordem (aparece
), portanto de ordem . - Os coeficientes das derivadas são constantes (
e ), então temos coeficientes constantes. - O lado direito é
, não nulo, logo a equação é não-homogênea (ou inhomogênea). - A equação é linear em
porque , e aparecem multiplicados apenas por funções (neste caso constantes) e somados — não há produtos ou funções não-lineares de .
- É uma equação envolvendo derivadas até a segunda ordem (aparece
Resumo das perguntas a responder:
- Classificar a EDO (orden, linearidade, homogênea/ não-homogênea, coeficientes).
- Encontrar a solução geral
resolver a EDO .
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática curta):
- Para EDOs lineares de ordem
com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo exponencial , o método padrão é: - Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar
(usando a equação característica). - Encontrar uma solução particular
do problema não-homogêneo. Para termos exponenciais usa-se o método dos coeficientes indeterminados: supõe-se uma forma ansatz para semelhante ao termo forçante, ajustando caso haja “ressonância” com a solução homogênea.
- Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar
- Esse método é o mais direto aqui porque os coeficientes são constantes e o termo forçante é simples (
).
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada (achar a solução complementar):
- Escrevemos a equação homogênea associada:
- Para resolver, usamos a equação característica obtida substituindo
(essa substituição funciona porque derivadas de apenas multiplicam por ): - Resolver a quadrática: fatorando,
Logo as raízes são e , que são reais e distintas. - Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e , a solução complementar é a combinação linear das exponenciais correspondentes: onde e são constantes arbitrárias.
Explicação didática da técnica:
- A razão de usar
é que derivadas de são múltiplos de , o que transforma a EDO linear com coeficientes constantes numa equação algébrica para . As raízes determinam os expoentes das soluções da homogênea.
Passo 4
Escolher a forma da solução particular
(método dos coeficientes indeterminados) e tratar ressonância:
- O termo não-homogêneo é
. - Regra prática do método dos coeficientes indeterminados: se o lado direito for
e não for raiz da equação característica, escolhemos um ansatz com constante desconhecida. - Se
for raízes da característica de multiplicidade , devemos multiplicar por o ansatz para evitar duplicação com a solução homogênea (isso é a “ressonância”). - Aqui
. As raízes da característica foram e , portanto NÃO é raiz. Não há ressonância. - Logo tentamos um particular simples:
com constante a determinar.
Didática sobre por que funciona:
- Procuramos
na mesma família de funções do forçante porque derivadas de também são múltiplos de , então ao substituir obteremos uma equação algébrica para o coeficiente .
Passo 5
Calcular as derivadas de
e substituir na EDO para determinar
:
- Derivadas de
: - Substituir em
- Agrupando
: - Essa expressão deve ser igual ao lado direito
, ou seja: - Cancelando
(que é não nulo), obtemos:
Passo 6
Escrever a solução particular encontrada e a solução geral:
- A solução particular é
- A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
Passo 7
Verificação rápida (checagem por consistência):
- Verificando mentalmente: os termos
e satisfazem a homogênea; o termo foi construído para produzir exatamente ao ser aplicado no operador (onde indica derivação), e a conta em Passo 5 mostrou isso. Portanto a solução está correta.