Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{-x}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações dá:
  • Pede: “Classificar e resolver” a equação diferencial ordinária dada.
  • A EDO fornecida é y''-3y'+2y=e^{-x}.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • É uma equação envolvendo derivadas até a segunda ordem (aparece y''), portanto de ordem 2.
    • Os coeficientes das derivadas são constantes ( -3 e 2), então temos coeficientes constantes.
    • O lado direito é \,e^{-x}, não nulo, logo a equação é não-homogênea (ou inhomogênea).
    • A equação é linear em y porque y, y' e y'' aparecem multiplicados apenas por funções (neste caso constantes) e somados — não há produtos ou funções não-lineares de y.
Resumo das perguntas a responder:
  • Classificar a EDO (orden, linearidade, homogênea/ não-homogênea, coeficientes).
  • Encontrar a solução geral (resolver a EDO ).

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática curta):
  • Para EDOs lineares de ordem 2 com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo exponencial e^{\alpha x}, o método padrão é:
    1. Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar y_c (usando a equação característica).
    2. Encontrar uma solução particular y_p do problema não-homogêneo. Para termos exponenciais usa-se o método dos coeficientes indeterminados: supõe-se uma forma ansatz para y_p semelhante ao termo forçante, ajustando caso haja “ressonância” com a solução homogênea.
  • Esse método é o mais direto aqui porque os coeficientes são constantes e o termo forçante é simples ( e^{-x}).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada (achar a solução complementar):
  • Escrevemos a equação homogênea associada: y''-3y'+2y=0.
  • Para resolver, usamos a equação característica obtida substituindo y=e^{rx} (essa substituição funciona porque derivadas de e^{rx} apenas multiplicam por r): r^{2}-3r+2=0.
  • Resolver a quadrática: fatorando, r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0.Logo as raízes são r=1 e r=2, que são reais e distintas.
  • Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução complementar é a combinação linear das exponenciais correspondentes: y_{c}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação didática da técnica:
  • A razão de usar y=e^{rx} é que derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}, o que transforma a EDO linear com coeficientes constantes numa equação algébrica para r. As raízes determinam os expoentes das soluções da homogênea.

Passo 4

Escolher a forma da solução particular y_p (método dos coeficientes indeterminados) e tratar ressonância:
  • O termo não-homogêneo é \,e^{-x}.
  • Regra prática do método dos coeficientes indeterminados: se o lado direito for e^{\alpha x} e \alpha não for raiz da equação característica, escolhemos um ansatz y_p=Ae^{\alpha x} com A constante desconhecida.
  • Se \alpha for raízes da característica de multiplicidade m, devemos multiplicar por x^{m} o ansatz para evitar duplicação com a solução homogênea (isso é a “ressonância”).
  • Aqui \alpha=-1. As raízes da característica foram 1 e 2, portanto -1 NÃO é raiz. Não há ressonância.
  • Logo tentamos um particular simples: y_{p}=A e^{-x},com A constante a determinar.
Didática sobre por que funciona:
  • Procuramos y_p na mesma família de funções do forçante porque derivadas de e^{-x} também são múltiplos de e^{-x}, então ao substituir obteremos uma equação algébrica para o coeficiente A.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_p e substituir na EDO para determinar A:
  • Derivadas de y_p: y_{p}' = -A e^{-x},\qquad y_{p}'' = A e^{-x}.
  • Substituir em \,y''-3y'+2y=e^{-x}: y_{p}''-3y_{p}'+2y_{p} =\bigl(A e^{-x}\bigr)-3\bigl(-A e^{-x}\bigr)+2\bigl(A e^{-x}\bigr).
  • Agrupando \,e^{-x}: y_{p}''-3y_{p}'+2y_{p}=(A+3A+2A)e^{-x}=6A e^{-x}.
  • Essa expressão deve ser igual ao lado direito e^{-x}, ou seja: 6A e^{-x}=1\cdot e^{-x}.
  • Cancelando e^{-x} (que é não nulo), obtemos: 6A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{6}.

Passo 6

Escrever a solução particular encontrada e a solução geral:
  • A solução particular é y_{p}=\frac{1}{6}e^{-x}.
  • A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da solução complementar com a particular: y = y_{c}+y_{p}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\frac{1}{6}e^{-x}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem por consistência):
  • Verificando mentalmente: os termos C_{1}e^{x} e C_{2}e^{2x} satisfazem a homogênea; o termo \tfrac{1}{6}e^{-x} foi construído para produzir exatamente e^{-x} ao ser aplicado no operador D^{2}-3D+2 (onde D indica derivação), e a conta em Passo 5 mostrou isso. Portanto a solução está correta.

Resposta

y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\frac{1}{6}e^{-x}

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