Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar a equação diferencial e resolvê-la. A equação dada é
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A equação envolve a função
e suas derivadas até a segunda ordem. - É uma equação diferencial ordinária (apenas derivadas em relação a
), de ordem . - O enunciado pede a classificação (tipo da EDO) e a solução geral
.
Passo 2
Vamos identificar características importantes (sem resolver ainda):
- A equação é linear porque cada termo com
ou derivadas aparece de forma linear (não há produtos como nem potências não-lineares). - É homogênea porque o lado direito é
(não há termo fonte dependente de isolado). - Os coeficientes
e são constantes (não dependem de ).
Portanto estamos diante de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Um método padrão e eficiente para esse tipo é procurar soluções exponenciais do tipo. Vou explicar por quê e aplicar.
Passo 3
Motivação do palpite
e como usá-lo (aula curta):
- Se
, então e . - Substituindo na equação linear homogênea, como
nunca é zero, podemos dividir por e obter uma equação para apenas. Essa equação é chamada equação característica ou polinômio característico.
Em termos práticos, fazemos:
Dividindo por
(que é não nulo):
Passo 4
Resolver a equação característica:
Essa é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar:
Logo as raízes são
Essas são duas raízes reais distintas.
Passo 5
Construir a solução geral a partir das raízes distintas:
- Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e , as funções e são soluções linearmente independentes da EDO. - Portanto a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dessas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).
Substituindo e
, obtemos
Substituindo
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): mostrar que a solução encontrada satisfaz a EDO.
Calcular e
:
Calcular
Substituir na equação:
Agrupando os coeficientes de
e
:
Ambos dão
, logo a identidade é satisfeita e a solução está correta.
Passo 7
Observações didáticas rápidas (dicas para a prova):
- Se a equação característica tivesse uma raiz dupla
(por exemplo ), a solução geral seria . - Se as raízes fossem complexas conjugadas
, a solução geral seria . - Sempre que possível, factorize o polinômio característico; é o jeito mais rápido em prova para coeficientes inteiros simples como aqui.
- Fica tranquilo: nesse tipo de EDO o passo-chave é montar e resolver a equação característica.