Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
y^{\prime \prime}(x)-3 y^{\prime}(x)+2 y(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar a equação diferencial e resolvê-la. A equação dada é
y''(x)-3y'(x)+2y(x)=0.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A equação envolve a função y(x) e suas derivadas até a segunda ordem.
  • É uma equação diferencial ordinária (apenas derivadas em relação a x), de ordem 2.
  • O enunciado pede a classificação (tipo da EDO) e a solução geral y(x).

Passo 2

Vamos identificar características importantes (sem resolver ainda):
  • A equação é linear porque cada termo com y ou derivadas aparece de forma linear (não há produtos como y\,y' nem potências não-lineares).
  • É homogênea porque o lado direito é 0 (não há termo fonte dependente de x isolado).
  • Os coeficientes -3 e 2 são constantes (não dependem de x).
    Portanto estamos diante de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Um método padrão e eficiente para esse tipo é procurar soluções exponenciais do tipo y(x)=e^{r x}. Vou explicar por quê e aplicar.

Passo 3

Motivação do palpite y(x)=e^{r x} e como usá-lo (aula curta):
  • Se y(x)=e^{r x}, então y'(x)=r e^{r x} e y''(x)=r^{2} e^{r x}.
  • Substituindo na equação linear homogênea, como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter uma equação para r apenas. Essa equação é chamada equação característica ou polinômio característico.
    Em termos práticos, fazemos:
y''-3y'+2y=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}e^{r x}-3r e^{r x}+2 e^{r x}=0.
Dividindo por e^{r x} (que é não nulo):
r^{2}-3r+2=0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^{2}-3r+2=0.
Essa é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0.
Logo as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=2.
Essas são duas raízes reais distintas.

Passo 5

Construir a solução geral a partir das raízes distintas:
  • Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, as funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções linearmente independentes da EDO.
  • Portanto a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dessas soluções:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).
Substituindo r_{1}=1 e r_{2}=2, obtemos
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): mostrar que a solução encontrada satisfaz a EDO.
Calcular y' e y'':
y'(x)=C_{1}e^{x}+2C_{2}e^{2x}, \qquad y''(x)=C_{1}e^{x}+4C_{2}e^{2x}.
Substituir na equação:
y''-3y'+2y=(C_{1}e^{x}+4C_{2}e^{2x})-3(C_{1}e^{x}+2C_{2}e^{2x})+2(C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}).
Agrupando os coeficientes de e^{x} e e^{2x}:
e^{x}:\quad C_{1}-3C_{1}+2C_{1}=0, \qquad e^{2x}:\quad 4C_{2}-6C_{2}+2C_{2}=0.
Ambos dão 0, logo a identidade é satisfeita e a solução está correta.

Passo 7

Observações didáticas rápidas (dicas para a prova):
  • Se a equação característica tivesse uma raiz dupla r (por exemplo (r-r_{0})^{2}=0), a solução geral seria y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{0}x}.
  • Se as raízes fossem complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, a solução geral seria y=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
  • Sempre que possível, factorize o polinômio característico; é o jeito mais rápido em prova para coeficientes inteiros simples como aqui.
  • Fica tranquilo: nesse tipo de EDO o passo-chave é montar e resolver a equação característica.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}

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