Classificar e resolver explicando o procedimento utilizado:
(i.) (x^2+2 yx) d x=(3-ln (x^2)) d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisamos classificar (ou seja, identificar que tipo de equação é) e depois resolver. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Temos:
(x^2 + 2yx) , dx = (3 - ln(x^2)) , dy
Podemos reorganizar os termos para colocar tudo em um lado da igualdade:
(x^2 + 2yx) , dx - (3 - ln(x^2)) , dy = 0
Agora, identificamos os termos M(x, y) = x^2 + 2yx e N(x, y) = -(3 - ln(x^2)) = ln(x^2) - 3 :

Passo 3

Para classificar a equação como exata, precisamos verificar se a seguinte condição é satisfeita:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, partial Mpartial y = partialpartial y(x^2 + 2yx) = 2x :
partial Npartial x = partialpartial x(ln(x^2) - 3) = 2x
Agora, :
Como , a equação diferencial é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial partial Psipartial x = M(x, y) tal que:
partial Psipartial y = N(x, y)
Psi(x, y) = integral (x^2 + 2yx) , dx = integral x^2 , dx + integral 2yx , dx
Vamos encontrar integral x^2 , dx = x^33 + C integrando integral 2yx , dx = 2y ln|x| + C em relação a Psi(x, y) = x^33 + 2y ln|x| + h(y) :
Calculando as integrais:
Então, temos:
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, para determinar partial Psipartial y = N(x, y) , usamos a segunda condição:
partial Psipartial y = 2 ln|x| + h'(y)
Derivando 2 ln|x| + h'(y) = ln(x^2) - 3 em relação a 2 ln|x| + h'(y) = 2 ln|x| - 3 :
h'(y) = -3
Igualando a h(y) = -3y + C :
Psi(x, y) = x^33 + 2y ln|x| - 3y + C
Simplificando a equação:
Percebo que os termos se cancelam:
Integrando em relação a :
Então, a função potencial completa é:

Passo 6

Finalmente, para resolver a equação diferencial, igualamos x^33 + 2y ln|x| - 3y = C a uma constante:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x^33 + 2y ln|x| - 3y = C
onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados