Classificar e resolver explicando o procedimento utilizado:
(i.)
.
(i.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisamos classificar (ou seja, identificar que tipo de equação é) e depois resolver. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Temos:
Podemos reorganizar os termos para colocar tudo em um lado da igualdade:
Agora, identificamos os termos
e
:
Passo 3
Para classificar a equação como exata, precisamos verificar se a seguinte condição é satisfeita:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro,
:
Agora,
:
Como
, a equação diferencial é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Calculando as integrais:
Então, temos:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, para determinar
, usamos a segunda condição:
Derivando
em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando a equação:
Percebo que os termos
se cancelam:
Integrando em relação a
:
Então, a função potencial completa é:
Passo 6
Finalmente, para resolver a equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.