Dois grandes recipientes A e B, do mesmo tamanho, são prenchidos com fluidos diferentes. Os fluidos nos recipientes A e B são mantidos em 0^circ C e 100^circ C, respectivamente. Uma pequena barra metálica, cuja temperatura inicial é de 100^circ C, é colacada dentro do recipiente A. Após 1 minuto a temperatura da barra é de 90^circ C. Após 2 minutos, a barra é removida e imediatamente transferida para o outro recipiente. Depois de um minuto no recipiente B a temperatura da barra sobe 10^circ C.
(ii.) Quanto tempo, medido a partir do ínicio de todo o processo, a barra levará para chegar a 99.9^circ C ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos dois recipientes idênticos, um a 0 °C (recipiente A) e outro a 100 °C (recipiente B). Uma barra de metal inicia a 100 °C, é colocada em A por 2 minutos e depois transferida para B. Queremos achar o tempo total até a barra atingir 99.9 °C. O conteúdo usado será a lei de resfriamento/aquecimento de Newton.

Passo 2

Na fase A (ambiente a 0 °C), aplicamos a lei de Newton:
T(t) = Tamb + (T0 - Tamb) e^-kA t
Aqui Tamb=0,!^circC e T0=100,!^circC. Como após 1 minuto a barra está a 90 °C, temos
100 e^-kA cdot 1 = 90 Longrightarrow e^-kA = 0.9 Longrightarrow kA = -ln(0.9) approx 0.1054,min^-1

Passo 3

Calculamos a temperatura ao fim de 2 minutos em A:
T(2) = 100 e^-kA cdot 2 = 100 ,(0.9)^2 = 81,!^circC

Passo 4

Na fase B (ambiente a 100 °C), a barra aquece segundo
T(t') = Tamb - l(Tamb - Tinir) e^-kB t'
Aqui Tini=81,!^circC. Sabemos que depois de 1 minuto em B a temperatura sobe 10 °C, indo para 91 °C, logo:
100 - (100 - 81)e^-kB = 91 Longrightarrow 19 e^-kB = 9 Longrightarrow e^-kB = tfrac919
Longrightarrow kB = -lnl(tfrac919r) = lnl(tfrac199r) approx 0.7472,min^-1

Passo 5

Para achar o tempo total até 99.9 °C, notamos que isso só ocorre na fase B (pois em A a barra só esfria). Para t>=2 minutos,
$$ T(t) = 100 - (100 - 81)
e^{-k_B (t - 2)} = 100 - 19 e^{-k_B (t - 2)}. T(t) = 100 - (100 - 81) e^-kB (t - 2) = 100 - 19 e^-kB (t - 2)ã 100 - 19 e^{-k_B (t - 2)} = 99.9 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k_B (t - 2)} = \tfrac{0.1}{19}.$$
Logo
T(t)=99.9
Portanto
100 - 19 e^-kB (t - 2) = 99.9 Longrightarrow e^-kB (t - 2) = tfrac0.119

Resposta

A barra chega a 99.9 °C em aproximadamente 9.02 minutos após o início do processo.

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