Dois grandes recipientes
e
, do mesmo tamanho, são prenchidos com fluidos diferentes. Os fluidos nos recipientes
e
são mantidos em
e
, respectivamente. Uma pequena barra metálica, cuja temperatura inicial é de
, é colacada dentro do recipiente
. Após 1 minuto a temperatura da barra é de
. Após 2 minutos, a barra é removida e imediatamente transferida para o outro recipiente. Depois de um minuto no recipiente
a temperatura da barra sobe
.
(ii.) Quanto tempo, medido a partir do ínicio de todo o processo, a barra levará para chegar a
?
(ii.) Quanto tempo, medido a partir do ínicio de todo o processo, a barra levará para chegar a
Passo 1
Resumo do enunciado: temos dois recipientes idênticos, um a 0 °C (recipiente A) e outro a 100 °C (recipiente B). Uma barra de metal inicia a 100 °C, é colocada em A por 2 minutos e depois transferida para B. Queremos achar o tempo total até a barra atingir 99.9 °C. O conteúdo usado será a lei de resfriamento/aquecimento de Newton.
Passo 2
Na fase A (ambiente a 0 °C), aplicamos a lei de Newton:
Aqui
Passo 3
Calculamos a temperatura ao fim de 2 minutos em A:
Passo 4
Na fase B (ambiente a 100 °C), a barra aquece segundo
Aqui
Passo 5
Para achar o tempo total até 99.9 °C, notamos que isso só ocorre na fase B (pois em A a barra só esfria). Para
minutos,
$$ T(t) = 100 - (100 - 81)
e^{-k_B (t - 2)} = 100 - 19 e^{-k_B (t - 2)}.
100 - 19 e^{-k_B (t - 2)} = 99.9 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k_B (t - 2)} = \tfrac{0.1}{19}.$$
Logo
Portanto
Resposta
A barra chega a 99.9 °C em aproximadamente 9.02 minutos após o início do processo.