Classificar e resolver explicando o procedimento utilizado:
(ii.)
.
(ii.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária do primeiro grau. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, tornando mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Isso significa que
. Essa troca nos ajuda a reduzir a complexidade da equação original.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Como
, aplicando a regra do quociente temos:
Isso nos dá uma expressão para
em termos de
e
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Aqui, usamos
, já que
.
Passo 5
Distribuindo o
na equação:
Vamos organizar os termos para isolar
.
Passo 6
Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Isso facilita a próxima etapa de simplificação.
Passo 7
Fatoramos
no lado direito:
Simplificamos para deixar a equação mais manejável.
Passo 8
Dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Isso nos prepara para separar as variáveis.
Passo 9
Rearranjamos a equação para separar
e
:
Agora, temos uma forma que permite integrar ambos os lados.
Passo 10
Simplificamos a expressão dentro do denominador:
Isso facilita a integração no próximo passo.
Passo 11
Integrando ambos os lados:
As integrais agora estão prontas para serem calculadas.
Passo 12
Resolvendo as integrais (esse passo pode envolver cálculos complexos que dependem da forma específica das funções), obtemos a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
satisfaz a relação integrada obtida nos passos anteriores. Para uma solução mais explícita, seria necessário resolver a integral apresentada no Passo 11.