Classificar e resolver explicando o procedimento utilizado:
(ii.) x d yd x=y e^x / y-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária do primeiro grau. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, tornando mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Isso significa que . Essa troca nos ajuda a reduzir a complexidade da equação original.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dydx = 1 cdot t - x cdot dtdxt^2 = 1t - xt^2 dtdx em relação a . Como , aplicando a regra do quociente temos:
Isso nos dá uma expressão para em termos de e .

Passo 4

Substituímos x ( 1t - xt^2 dtdx ) = xt e^t - x e na equação original:
Aqui, usamos , já que .

Passo 5

Distribuindo o xt - x^2t^2 dtdx = xt e^t - x na equação:
Vamos organizar os termos para isolar .

Passo 6

Primeiro, subtraímos - x^2t^2 dtdx = xt e^t - x - xt de ambos os lados:
Isso facilita a próxima etapa de simplificação.

Passo 7

Fatoramos - x^2t^2 dtdx = x ( e^t - 1t - 1 ) no lado direito:
Simplificamos para deixar a equação mais manejável.

Passo 8

Dividimos ambos os lados por dtdx = - t^2x ( e^t - 1t - 1 ) para isolar :
Isso nos prepara para separar as variáveis.

Passo 9

Rearranjamos a equação para separar dt ( e^t - 1t - 1 ) = - t^2x dx e :
Agora, temos uma forma que permite integrar ambos os lados.

Passo 10

Simplificamos a expressão dentro do denominador:
e^t - 1 - tt = e^t - t - 1t
Isso facilita a integração no próximo passo.

Passo 11

Integrando ambos os lados:
integral te^t - t - 1 dt = - integral t^2x dx
As integrais agora estão prontas para serem calculadas.

Passo 12

Resolvendo as integrais (esse passo pode envolver cálculos complexos que dependem da forma específica das funções), obtemos a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
y = xt
onde satisfaz a relação integrada obtida nos passos anteriores. Para uma solução mais explícita, seria necessário resolver a integral apresentada no Passo 11.

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