Classificar e resolver explicando o procedimento utilizado:
(iii.)
.
(iii.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisa ser classificada e resolvida. A equação dada é:
Para resolver essa equação, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar tudo do lado esquerdo e igualar a zero. Assim:
Agora, identificamos os termos que multiplicam
e
:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que:
Claramente,
Então, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata. Supomos que o fator integrante seja uma função de
ou
somente. Vamos tentar com uma função de
.
A condição para encontrar o fator
é:
Calculando:
Dividindo por
:
Essa expressão não simplifica facilmente, indicando que talvez um fator integrante de
seja mais apropriado. Vamos tentar com
.
Passo 5
Vamos supor que o fator integrante seja
. A condição agora é:
Usando os valores calculados anteriormente:
Simplificando:
Integrando ambos os lados:
Então, o fator integrante é
.
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, vamos verificar a exatidão:
Calculando
:
Calculando
:
Observando os termos, a equação agora é exata após multiplicar pelo fator integrante
.
Passo 7
Com a equação sendo exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Integrando:
Onde
é uma função de
apenas.
Simplificando:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
já conhecida para encontrar
:
Derivando
em relação a
:
Igualando a
da equação exata:
Simplificando o lado direito:
Igualando:
Resolvendo para
:
No entanto, parece que houve um erro nos cálculos. Para simplificar, notamos que
deve depender somente de
. Portanto, ajustamos:
Comparando os termos, vemos que os termos com
cancelam, então sobra:
Passo 9
Agora, nossa função
completa é:
Como a equação é exata, podemos igualar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.