Questão (Obrigatória) (2.5 pontos)
Determine equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas
x=e^t, y=sen t, z=ln (1-t)
no ponto P0(1,0,0).

Passo 1

Neste exercício vamos determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva dada por x=e^t, y=sin t e z=ln(1-t) no ponto P0(1,0,0). O conteúdo envolvido é derivada de curvas paramétricas e reta tangente, e vamos precisar calcular o vetor velocidade da curva e avaliá-lo no ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro encontramos o valor do parâmetro t0 que gera o ponto P0. Para isso resolvemos o sistema de equações:
e^t0 = 1, sin t0 = 0 e ln(1 - t0) = 0.
Da primeira equação obtemos t0 = 0. Verificando as outras: sin 0 = 0 e ln(1 - 0) = ln 1 = 0. Logo, t0 = 0.

Passo 3

Agora calculamos o vetor velocidade da curva:
r'(t) = gl(dxdt,dydt,dzdtgr) = l(e^t,cos t,-tfrac11-tr)
Avaliando em t0 = 0 temos
r'(0) = (1,1,-1)

Passo 4

A equação vetorial da reta tangente em P0 é dada por
L(u) = (1,0,0) + u,(1,1,-1)
Desse modo, extraímos as equações paramétricas da reta tangente.

Resposta

x = 1 + u, y = u, z = -u

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