Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um fluido no qual foram disolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1 / 2 libra de sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 gal / min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa de 4 gal / min.
(a.) Determine o PVI que modela o problema planteado e classifique o tipo de EDO que aparece no PVI. Explique a forma geral de solucionar EDOs desse tipo.

Passo 1

O exercício é um problema de mistura em um tanque: temos inicialmente 100 galões de solução com 10 libras de sal, entra salmoura com ½ lb/gal a 6 gal/min e sai solução bem misturada a 4 gal/min. O conteúdo é aplicação de equações diferenciais para modelar variação de concentração.

Passo 2

Definimos a quantidade de sal em libras no tanque no instante t por x(t). O volume de líquido no tanque varia porque a vazão de entrada (6 gal/min) é maior que a de saída (4 gal/min). Logo,
V(t)=100+(6-4)t=100+2t

Passo 3

A taxa de variação de sal é “taxa de entrada – taxa de saída”:
dxdt=underbracel(tfrac12,lb/galr)cdot6=3,lb/min;;underbracel(x(t)V(t)r)cdot4saída=3-4100+2t,x(t)í

Passo 4

Organizando no formato padrão e incluindo a condição inicial x(0)=10:
dxdt+4100+2t,x=3, x(0)=10

Passo 5

Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem não homogênea. Em geral, EDOs desse tipo têm a forma
dxdt+p(t)x=g(t), e resolvem-se usando fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt, levando à solução
x(t)=1mu(t)l(integralmu(t)g(t),dt+Cr)

Resposta

O PVI é
dxdt+4100+2t,x=3, x(0)=10,
e trata-se de uma EDO linear de primeira ordem não homogênea, cuja solução geral obtém-se por fator integrante.

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