Classificar e resolver, justificando a resposta, cada uma das equações abaixo em uma das seguintes categorias:
I) Equação Exata; II) Equação Diferencial Linear
I) Equação Exata; II) Equação Diferencial Linear
Passo 1
Temos a equação
. O objetivo é (1) classificar se é exata ou linear de 1ª ordem e (2) encontrar a solução geral. Vamos precisar do teste de exatidão e, se não for exata, usar o método do fator integrante para equações lineares.
Passo 2
Para testar exatidão, escrevemos na forma
:
Aqui
e
. Calculamos
e
. Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Observamos que a equação pode ser escrita como
com
e
. Portanto é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
por
Passo 5
Multiplicando a equação original por
, obtemos
O lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados, vem
Passo 6
Para calcular a integral, separamos:
Logo,
Multiplicando por
, isolamos
:
Resposta
Classificação: II) Equação diferencial linear de primeira ordem.
A solução geral é
A solução geral é