Classificar e resolver, justificando a resposta, cada uma das equações abaixo em uma das seguintes categorias:
I) Equação Exata; II) Equação Diferencial Linear
y^prime-2 x y=2 x+3

Passo 1

Temos a equação y'-2xy=2x+3. O objetivo é (1) classificar se é exata ou linear de 1ª ordem e (2) encontrar a solução geral. Vamos precisar do teste de exatidão e, se não for exata, usar o método do fator integrante para equações lineares.

Passo 2

Para testar exatidão, escrevemos na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0:
(-2xy-2x-3),dx + 1,dy = 0
Aqui M(x,y)=-2xy-2x-3 e N(x,y)=1. Calculamos
partial M/partial y=-2x e partial N/partial x=0. Como -2xneq0, a equação não é exata.

Passo 3

Observamos que a equação pode ser escrita como
y' + p(x)y = q(x)
com p(x)=-2x e q(x)=2x+3. Portanto é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 4

Calculamos o fator integrante mu(x) por
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral -2x,dx=e^-x^2

Passo 5

Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^-x^2y' -2x e^-x^2y = (2x+3)e^-x^2
O lado esquerdo é a derivada de y e^-x^2:
ddxl(y e^-x^2r)=(2x+3)e^-x^2
Integrando ambos os lados, vem
y e^-x^2 = integral(2x+3)e^-x^2,dx + C

Passo 6

Para calcular a integral, separamos:
integral 2x e^-x^2,dx = -e^-x^2,
integral 3e^-x^2,dx = 3raizpi2,erf(x)
Logo,
y e^-x^2 = -e^-x^2 + 3raizpi2,erf(x) + C
Multiplicando por e^x^2, isolamos y:
y = -1 + 3raizpi2e^x^2,erf(x) + C e^x^2

Resposta

Classificação: II) Equação diferencial linear de primeira ordem.
A solução geral é
y = -1 + 3raizpi2e^x^2,erf(x) + C e^x^2

Exercícios relacionados