Considere a EDO que descreve o movimento de queda de um corpo de massa
sujeito a uma força proporcional ao quadrado da velocidade
onde
é uma constante positiva, representando o termo de resistência do ar e
é a aceleração da gravitacional local. Sendo
, obtenha a velocidade limite de queda do corpo.
R.:
R.:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que temos e o que precisamos: temos uma EDO de primeira ordem que modela a queda de um corpo de massa
sob gravidade
e resistência do ar proporcional a
. O objetivo é usar técnicas de EDOs separáveis para encontrar a velocidade limite quando
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão e separamos as variáveis. Da equação
imediatamente isolamos
e colocamos todos os termos em
de um lado e
do outro:
Passo 3
Para integrar precisamos reconhecer a forma
. Definimos a velocidade de terminal (ou limite)
Então reescrevemos o denominador como
, obtendo
O integral
.
Passo 4
Aplicamos a primitiva e a condição inicial
. Temos
e, como
, deduzimos
. Então
Passo 5
Finalmente, para encontrar a velocidade limite, analisamos
. Sabendo que
quando
, segue