Considere a EDO que descreve o movimento de queda de um corpo de massa m sujeito a uma força proporcional ao quadrado da velocidade
m d vd t=m g-k v^2
onde k é uma constante positiva, representando o termo de resistência do ar e g é a aceleração da gravitacional local. Sendo v(0)=0, obtenha a velocidade limite de queda do corpo.
R.: vlim =lim t infty v=raizm gk

Passo 1

Vamos começar resumindo o que temos e o que precisamos: temos uma EDO de primeira ordem que modela a queda de um corpo de massa m sob gravidade g e resistência do ar proporcional a v^2. O objetivo é usar técnicas de EDOs separáveis para encontrar a velocidade limite quando ttoinfty.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão e separamos as variáveis. Da equação
m,dvdt=m g - k v^2
imediatamente isolamos dv/dt e colocamos todos os termos em v de um lado e t do outro:
dvdt=g-kmv^2 Longrightarrow dvg-kmv^2=dt

Passo 3

Para integrar precisamos reconhecer a forma 1/(1-u^2). Definimos a velocidade de terminal (ou limite)
vt=raizm gk
Então reescrevemos o denominador como gl[1-(v/vt)^2r], obtendo
integraldvgl[1-(vvt)^2r]=integral dt Longrightarrow 1gintegraldv1-(vvt)^2=t+C
O integral integral du/(1-u^2)=atanh(u).

Passo 4

Aplicamos a primitiva e a condição inicial v(0)=0. Temos
1g,vt,atanhl(vvtr)=t+C
e, como atanh(0)=0, deduzimos C=0. Então
atanhl(vvtr)=gvtt Longrightarrow vvt=tanhl(gvttr) Longrightarrow v(t)=vt,tanhl(gvttr)

Passo 5

Finalmente, para encontrar a velocidade limite, analisamos ttoinfty. Sabendo que tanh(x)to1 quando xtoinfty, segue
vlim=limttoinftyv(t)=vt=raizm gk

Resposta

vlim=raizm gk

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