Forneça o Wronskiano do conjunto de funções dadas e use essa informação para classificar tal conjunto como LD ou LI.
[f1(x)=sen x, f2(x)=3 sen x+cos x]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano do par de funções f1(x)=sin x e f2(x)=3sin x+cos x e usar esse resultado para decidir se elas são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI). Vamos precisar lembrar da definição de Wronskiano e da relação com independência linear.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de cada função, pois o Wronskiano exige essas derivadas. Temos:
f1(x)=sin x, f1'(x)=cos x;
f2(x)=3sin x+cos x, f2'(x)=3cos x-sin x

Passo 3

Agora montamos o determinante que define o Wronskiano:
W(x)= sin x & 3sin x+cos x cos x & 3cos x-sin x
Expandindo o determinante, obtemos:
W(x)=sin x(3cos x-sin x)-(3sin x+cos x)cos x
=3sin xcos x-sin^2 x-3sin xcos x-cos^2 x
=-(sin^2 x+cos^2 x)=-1

Passo 4

Como o Wronskiano W(x) é constante e igual a -1, que nunca se anula, concluímos pelo teorema que o conjunto de funções é linearmente independente (LI).

Resposta

O Wronskiano é W(x)=-1 e, como não se anula, as funções são linearmente independentes.

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