Classificar e resolver, justificando a resposta, cada uma das equações abaixo em uma das seguintes categorias:
I) Equação Exata; II) Equação Diferencial Linear
)(1-y-sen
I) Equação Exata; II) Equação Diferencial Linear
)(1-y-sen
Passo 1
A equação diferencial dada é (1–y–sen x) dx + (3 y²–x+cos y) dy = 0. O conteúdo envolve classificação de EDOs em exatas ou lineares e, em caso de exata, usar condição de exatidão e função potencial para resolver.
Passo 2
Identificamos M(x,y)=1–y–sen x e N(x,y)=3 y²–x+cos y. Calculamos ∂M/∂y=–1 e ∂N/∂x=–1. Como ∂M/∂y=∂N/∂x, a equação é exata.
Passo 3
Para achar a função potencial Φ(x,y) satisfazendo Φ_x=M, integramos em x:
Passo 4
Derivando em y e igualando a N(x,y) temos
Logo h’(y)=3y²+cos y e
Portanto a solução implícita é Φ(x,y)=x–x y+cos x+y³+sin y=C.
Resposta
A equação é exata e sua solução geral é