Classificar e resolver, justificando a resposta, cada uma das equações abaixo em uma das seguintes categorias:
I) Equação Exata; II) Equação Diferencial Linear
)(1-y-sen x) d x+(3 y^2-x+cos y) d y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é (1–y–sen x) dx + (3 y²–x+cos y) dy = 0. O conteúdo envolve classificação de EDOs em exatas ou lineares e, em caso de exata, usar condição de exatidão e função potencial para resolver.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=1–y–sen x e N(x,y)=3 y²–x+cos y. Calculamos ∂M/∂y=–1 e ∂N/∂x=–1. Como ∂M/∂y=∂N/∂x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial Φ(x,y) satisfazendo Φ_x=M, integramos em x:
Φ(x,y)=integral(1ysin x),dx=xxy+cos x + h(y)

Passo 4

Derivando em y e igualando a N(x,y) temos
Φy=-x + h'(y) overset!= 3y^2 - x + cos y
Logo h’(y)=3y²+cos y e
h(y)=y^3+sin y
Portanto a solução implícita é Φ(x,y)=x–x y+cos x+y³+sin y=C.

Resposta

A equação é exata e sua solução geral é
x - x y + cos x + y^3 + sin y = C

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