Classificar e resolver os sistemas lineares
\quad\left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}=2 \\\\ 3 \mathrm{x}-5 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}=5 \\\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}-7 \mathrm{z}=-24\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x + 3y - 2z = 2,\\\\ 3x - 5y + 4z = 5,\\\ x - 2y - 7z = -24. \end{cases}
Conteúdo: sistemas lineares; vamos usar determinante para classificação e eliminação por substituição para solução.

Passo 2

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2\\\\ 3 & -5 & 4\\\\ 1 & -2 & -7 \end{pmatrix}.
Usando cofactores:
\det(A) = 2\begin{vmatrix}-5 & 4\\\ -2 & -7\end{vmatrix} -3\begin{vmatrix}3 & 4\\\ 1 & -7\end{vmatrix} +(-2)\begin{vmatrix}3 & -5\\\ 1 & -2\end{vmatrix}.
Calculando:
\begin{aligned} \det(A)&=2\bigl(35+8\bigr)-3\bigl(-21-4\bigr)-2\bigl(-6+5\bigr)\\\ &=2\cdot43-3\cdot(-25)-2\cdot(-1)\\\ &=86+75+2=163. \end{aligned}
Como \det(A)\neq0, o sistema é determinado (há solução única).

Passo 3

Isolamos x na terceira equação:
x-2y-7z=-24 \quad\Longrightarrow\quad x=-24+2y+7z.
Substituímos em (1) e (2):
\text{(1)}:\;2(-24+2y+7z)+3y-2z=2,
\text{(2)}:\;3(-24+2y+7z)-5y+4z=5.

Passo 4

Simplificando cada uma:
\text{(1)}:\;-48+4y+14z+3y-2z=2 \;\Longrightarrow\;7y+12z=50,
\text{(2)}:\;-72+6y+21z-5y+4z=5 \;\Longrightarrow\;y+25z=77.
Formou-se o sistema
\begin{cases} 7y+12z=50,\\\ y+25z=77. \end{cases}

Passo 5

Multiplicamos a segunda equação por 7 e subtraímos da primeira:
7y+175z=539 \;\;-\;(7y+12z=50) \;\Longrightarrow\; 163z=489 \;\Longrightarrow\; z=3.
Então, de y+25z=77:
y+25\cdot3=77 \;\Longrightarrow\; y=2.
Por fim, em x=-24+2y+7z:
x=-24+2\cdot2+7\cdot3=1.

Resposta

O sistema é determinado (única solução) e
x=1,\quad y=2,\quad z=3.

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