(9.0 pts) Localize e classifique os pontos críticos da função
F(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para localizar e classificar os pontos críticos da função
F(x,y) = \bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}.
O conteúdo que vamos usar é cálculo de funções de duas variáveis: cálculo do gradiente para achar pontos críticos e teste da segunda derivada (Hessiano) para classificação como máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Como
F(x,y) = (x^{2}-y^{2})\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}},
temos
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} = e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\bigl(2x - x(x^{2}-y^{2})\bigr) = x\bigl(2 - x^{2} + y^{2}\bigr)\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}},
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} = e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\bigl(-2y - y(x^{2}-y^{2})\bigr) = -\,y\bigl(2 + x^{2} - y^{2}\bigr)\,e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}.

Passo 3

Para pontos críticos, impomos F_x=0 e F_y=0. Como e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}>0 nunca anula, requeremos
x\,(2 - x^{2}+y^{2}) = 0, \quad y\,(2 + x^{2}-y^{2}) = 0.
As soluções são:
  1. x=0 e y=0 (0,0).
  2. x=0 e 2 + x^{2}-y^{2}=0 y=\pm\sqrt{2} \bigl(0,\pm\sqrt{2}\bigr).
  3. y=0 e 2 - x^{2}+y^{2}=0 x=\pm\sqrt{2} \bigl(\pm\sqrt{2},0\bigr).
    Não há outras combinações.

Passo 4

Calculamos o valor de F em cada ponto crítico:
F(0,0)=0, \quad F\bigl(\pm\sqrt{2},0\bigr) = \bigl((\sqrt{2})^{2}-0\bigr)e^{-2/2} = 2\,e^{-1} >0,
F\bigl(0,\pm\sqrt{2}\bigr) = \bigl(0-(\sqrt{2})^{2}\bigr)e^{-2/2} = -2\,e^{-1} <0.

Passo 5

Classificação em (0,0). Aproximando F perto da origem por desenvolvimento de Taylor de segunda ordem, nota-se que
F(x,0)\approx 2x^{2}, \quad F(0,y)\approx -2y^{2},
logo há concavidade positiva numa direção e negativa noutra, caracterizando ponto de sela.

Passo 6

Classificação em \bigl(\pm\sqrt{2},0\bigr). Na reta y=0 temos a função univariante
f(x)=x^{2}e^{-x^{2}/2}
com máximo local em x=\pm\sqrt{2}. Em direções transversais y\ne0, verifica-se que a curvatura também é negativa. Logo \bigl(\pm\sqrt{2},0\bigr) são máximos locais.

Passo 7

Classificação em \bigl(0,\pm\sqrt{2}\bigr). Na reta x=0 temos
g(y)=-y^{2}e^{-y^{2}/2}
com mínimo local em y=\pm\sqrt{2}. Em direções transversais x\ne0, a curvatura é positiva. Logo \bigl(0,\pm\sqrt{2}\bigr) são mínimos locais.

Resposta

Os pontos críticos são
(0,0),\quad (\pm\sqrt{2},0),\quad (0,\pm\sqrt{2}).
Classificação:
(0,0) ponto de sela; (\pm\sqrt{2},0) máximos locais; \bigl(0,\pm\sqrt{2}\bigr) mínimos locais.

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