(9.0 pts) Localize e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado pede para localizar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo que vamos usar é cálculo de funções de duas variáveis: cálculo do gradiente para achar pontos críticos e teste da segunda derivada (Hessiano) para classificação como máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais. Como
temos
Passo 3
Para pontos críticos, impomos
e
. Como
nunca anula, requeremos
As soluções são:
-
e → . -
e → → . -
e → → .
Não há outras combinações.
Passo 4
Calculamos o valor de
em cada ponto crítico:
Passo 5
Classificação em
. Aproximando
perto da origem por desenvolvimento de Taylor de segunda ordem, nota-se que
logo há concavidade positiva numa direção e negativa noutra, caracterizando ponto de sela.
Passo 6
Classificação em
. Na reta
temos a função univariante
com máximo local em
. Em direções transversais
, verifica-se que a curvatura também é negativa. Logo
são máximos locais.
Passo 7
Classificação em
. Na reta
temos
com mínimo local em
. Em direções transversais
, a curvatura é positiva. Logo
são mínimos locais.
Resposta
Os pontos críticos são
Classificação:
(0,0) ponto de sela; máximos locais;
mínimos locais.
(0,0) ponto de sela;