Considere a função F(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}+y} :
Calcule o gradiente de F(x, y) em seguida as derivadas parciais de segunda ordem
\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}, \quad \text { e } \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para a função
F(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}+y}
calcular o gradiente, isto é, as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial F}{\partial x} e \frac{\partial F}{\partial y}, e em seguida as derivadas parciais de segunda ordem \frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y} e \frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}. O conteúdo é cálculo de derivadas de funções de duas variáveis usando regra da cadeia e produto.

Passo 2

Para o gradiente, note que F(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=x^{2}+y^{2}+y. Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial F}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^{2}+y^{2}+y}\cdot 2x,
\frac{\partial F}{\partial y} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^{2}+y^{2}+y}\cdot(2y+1).

Passo 3

Agora \frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}} vem de derivar \frac{\partial F}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}+y} em relação a x. Aplicando a regra do produto e a cadeia:
\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}} =2\,e^{x^{2}+y^{2}+y} +2x\,e^{x^{2}+y^{2}+y}\cdot 2x =(2+4x^{2})\,e^{x^{2}+y^{2}+y}.

Passo 4

Para a derivada mista \frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y}, diferenciamos \frac{\partial F}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}+y} em relação a y. Só há fator em y no expoente:
\frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y} =2x\;\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(e^{x^{2}+y^{2}+y}\Bigr) =2x\,e^{x^{2}+y^{2}+y}\cdot(2y+1).

Passo 5

Para \frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}, partimos de \frac{\partial F}{\partial y}=(2y+1)e^{x^{2}+y^{2}+y} e aplicamos produto mais cadeia:
\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}} =2\,e^{x^{2}+y^{2}+y} +(2y+1)\,e^{x^{2}+y^{2}+y}\cdot(2y+1) =(2+(2y+1)^{2})\,e^{x^{2}+y^{2}+y}.

Resposta

Gradiente:
\nabla F(x,y)=\bigl(2x\,e^{x^{2}+y^{2}+y},\;(2y+1)\,e^{x^{2}+y^{2}+y}\bigr).
Segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}=(4x^{2}+2)\,e^{x^{2}+y^{2}+y},\quad \frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y}=2x\,(2y+1)\,e^{x^{2}+y^{2}+y},\quad \frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}=\bigl((2y+1)^{2}+2\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}+y}.

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