\int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x=\int_{0}^{\pi} \cos ^{2} x d x
Èstas integrais quando somados dão \int_{0}^{\pi} 1 d x, então ambos são iguais a …

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}x\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\pi} \cos^{2}x\,dx
sabendo que
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx
e que a soma dessas duas integrais é
\int_{0}^{\pi}1\,dx.
O conteúdo envolve identidades trigonométricas e propriedades de integrais definidas.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1,
portanto
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx + \int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi}\bigl(\sin^{2}x + \cos^{2}x\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi}1\,dx = \pi.

Passo 3

Como sabemos que
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx,
cada uma dessas integrais é a metade de \pi. Sejam ambas iguais a I. Então
2I = \pi \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

Exercícios relacionados