Classificar os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
1+3 x+x^2, 2-x-x^2, 1+2 x-3 x^2,-2+x+3 x^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar em independência ou dependência linear o conjunto
,1+3x+x^2,;2-x-x^2,;1+2x-3x^2,;-2+x+3x^2
no espaço vetorial P2 (polinômios de grau <=2). Para isso vamos usar dois fatos: a dimensão de P2 é 3 e, para mostrar dependência, basta encontrar uma combinação linear não trivial que dê o polinômio zero.

Passo 2

Como temos 4 polinômios em P2, cujo espaço tem dimensão 3, pela desigualdade de dimensão qualquer conjunto com mais de 3 vetores é automaticamente linearmente dependente. Mesmo assim, para ilustrar, escrevemos
a(1+3x+x^2)+b(2-x-x^2)+c(1+2x-3x^2)+d(-2+x+3x^2)=0
e igualamos coeficientes de 1, x e x^2.

Passo 3

Igualando coeficientes temos o sistema
a+2b+c-2d=0, 3a - b +2c + d=0, a - b -3c +3d=0
Resolvendo em função de d obtemos, por exemplo,
(a,b,c,d)=(-10,,23,,14,,25),
ou seja,
-10(1+3x+x^2)+23(2-x-x^2)+14(1+2x-3x^2)+25(-2+x+3x^2)=0,
com todos os coeficientes não nulos.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

Exercícios relacionados