Exercício 2: Calcule a integral de linha, sendo C a curva descrita.
ointC F d r ; F(x, y)=(3 y-e^sen x, 7 x+raizy^4+1), sendo C a curva x^2+y^2=9 orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
ointCFcdot dr
onde
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(3y - e^sin x,,7x + raizy^4+1r)
e C é o círculo x^2+y^2=9 orientado positivamente. Vamos usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, temos
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Aqui
P(x,y) = 3y - e^sin x, Q(x,y) = 7x + raizy^4+1

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial xl(7x + raizy^4+1r) = 7,
partial Ppartial y = partialpartial yl(3y - e^sin xr) = 3

Passo 4

Logo a integranda é constante:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 7 - 3 = 4

Passo 5

A região D é o disco de raio 3, cujo área é picdot 3^2 = 9pi. Assim
integral duplaD4,dA = 4 cdot (área de D) = 4 cdot 9pi = 36pi á

Resposta

36pi

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