Seja o espaço vetorial M(2,2) e os vetores
v1=[ll1 & 0 1 & 1], v2=[cc-1 & 2 0 & 1] e v3=[cc0 & -1 2 & 1]. Escrever o vetor v=[ll1 & 8 0 & 5] como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.

Passo 1

O enunciado está em M(2,2) e pede para escrever
v = 1 & 8 0 & 5
como combinação linear dos vetores
v1 = 1 & 0 1 & 1, v2 = -1 & 2 0 & 1, v3 = 0 & -1 2 & 1
O conteúdo é sistema linear obtido pela igualdade de cada entrada.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 1 & 8 0 & 5
Isso gera, entrada a entrada, o sistema
a - b = 1, 2b - c = 8, a + 2c = 0, a + b + c = 5

Passo 3

Das duas primeiras equações tiramos
;a = b + 1; e da terceira ;a = -2c.
Igualando-as:
b + 1 = -2cLongrightarrow b = -1 - 2c
Substituindo em 2b - c = 8
2(-1 - 2c)-c = 8 Longrightarrow -2 -4c - c = 8 Longrightarrow -5c = 10 Longrightarrow c = -2
Logo
b = -1 - 2(-2) = 3, a = b+1 = 4

Passo 4

Verificamos a quarta equação:
a + b + c = 4 + 3 + (-2) = 5,
que coincide com o lado direito, confirmando a solução.

Resposta

1 & 8 0 & 5 = 4,v1 + 3,v2 - 2,v3

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