Classifique, de acordo com o valor de k, os sistemas abaixo em “possível e determinado”, “possível e indeterminado”, ou 'impossível". \left\{\begin{array}{l}x+y-k z=0 \\\ k x+y-z=2-k \\\ x+k y-z=-k\end{array}\right.;
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y - k\,z = 0,\\\ k\,x + y - z = 2 - k,\\\ x + k\,y - z = -k, \end{cases}
e pede para classificá-lo em “possível e determinado” (uma única solução), “possível e indeterminado” (infinitas soluções) ou “impossível” (sem solução). Vamos usar determinante da matriz dos coeficientes para achar quando ela é invertível e, nos casos singulares, verificar a consistência pelos postos (ranks).
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -k\\\ k & 1 & -1\\\\ 1 & k & -1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante por expansão:
\det A =1\bigl(1\cdot(-1)-(-1)\cdot k\bigr) -1\bigl(k\cdot(-1)-(-1)\cdot1\bigr) - k\bigl(k\cdot k -1\cdot1\bigr).
Passo 3
Simplificando cada termo:
\det A = ( -1 + k ) -\bigl(-k +1\bigr) - k\,(k^2-1) = (k-1)+(k-1) - k^3 + k =3k -2 - k^3.
Fatorando k^3 -3k +2 = (k-1)^2(k+2), obtemos
\det A = -\,(k-1)^2\,(k+2).
Logo \det A = 0 se, e somente se, k=1 ou k=-2.
Passo 4
Se \det A \neq 0, ou seja k\neq1 e k\neq -2, a matriz A é invertível e o sistema tem solução única. Classificação: possível e determinado.
Passo 5
Para k=1\), o sistema vira
\[\begin{cases} x+y -z=0,\\\ x+y -z=1,\\\ x+y -z=-1. \end{cases}
É claro que essas três equações exigem simultaneamente valores diferentes para x+y-z\], o que é impossível. Portanto, para \(k=1: impossível.
Passo 6
Para k=-2\), o sistema é
\[\begin{cases} x+y+2z=0,\\\\ -2x+y -z=4,\\\ x-2y -z=2. \end{cases}
Eliminando x,y\] pelas duas primeiras equações vimos que a terceira dá contradição (–\(4\neq 2). Logo não há solução. Para k=-2: impossível.
Resposta
Para k\neq1 e k\neq -2: possível e determinado.
Para k=1 ou k=-2: impossível.
Não há valor de k que torne o sistema possível e indeterminado.