(Questão 02)[2,0 pontos] Determine a reta r que contém o ponto A=(1,2,0), é paralela ao plano \pi: x+y+z=1 e dista 2 da reta s: X=(0,3,2)+\mu(1,1,0).
(a) r: X=(1,0,1)+\lambda(1,-1, \sqrt{2}), \lambda \in \mathbb{R}
(b) r: X=(1,2,0)+\lambda(1,-1,0), \lambda \in \mathbb{R}
(c) r: X=(0,0,1)+\lambda(1,0, \sqrt{2}), \lambda \in \mathbb{R}
(d) r: X=(-1,2,1)+\lambda(1,-1,1), \lambda \in \mathbb{R}
(e) r: X=(0,0,0)+\lambda(1,1, \sqrt{2}), \lambda \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a reta r tal que
  1. r contém A=(1,2,0),
  2. r é paralela ao plano \pi\colon x+y+z=1,
  3. a distância entre r e a reta s\colon X=(0,3,2)+\mu(1,1,0) vale 2.
    Vamos usar geometria vetorial: condição de paralelismo a plano via produto escalar com normal e fórmula da distância entre retas skew.

Passo 2

Sejam v=(a,b,c) o vetor diretor de r e n=(1,1,1) a normal de \pi. Como r\parallel\pi, deve ocorrer
v\cdot n = a+b+c = 0.
Logo r tem equação geral
r\colon X = (1,2,0) + \lambda\,(a,b,c).

Passo 3

Entre as alternativas, só a direção de (b), v=(1,-1,0), satisfaz
1 + (-1) + 0 = 0.
As demais não anulam a+b+c. Além disso, a alternativa (b) já passa por A.

Passo 4

Verificamos a distância entre
r\colon X=(1,2,0)+\lambda(1,-1,0),\quad s\colon X=(0,3,2)+\mu(1,1,0).
Seja u=(1,1,0) o diretor de s e A_r=(1,2,0), A_s=(0,3,2). Então
u\times v = (1,1,0)\times(1,-1,0) = (0,0,-2), \quad A_s - A_r = (-1,1,2).
A distância é
d = \frac{\bigl|\,(A_s-A_r)\cdot(u\times v)\bigr|}{\|u\times v\|} = \frac{\bigl|(-1,1,2)\cdot(0,0,-2)\bigr|}{2} = \frac{4}{2} =2.
Está de acordo com o enunciado.

Resposta

(b) r: X=(1,2,0)+\lambda(1,-1,0), \;\lambda\in\mathbb{R}.

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