(Questão 05) [2,0 pontos] Determine a equação geral do plano \pi que é perpendicular a reta r: X=(1,2,-1)+\lambda(3,2,1), \lambda \in \mathbb{R}, no ponto P=(4,4,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano \pi que é perpendicular à reta
r: \mathbf X=(1,2,-1)+\lambda\,(3,2,1),\\ \lambda\in\mathbb{R}
no ponto P=(4,4,0). Para isso, usaremos que o vetor diretor da reta serve como vetor normal ao plano e, a partir de um ponto do plano, montamos a equação.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r:
\vec v=(3,2,1).
Como o plano é perpendicular à reta, seu vetor normal é
\vec n=\vec v=(3,2,1).

Passo 3

A forma ponto-normal da equação de um plano com normal \vec n=(a,b,c) que passa por P=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.

Passo 4

Aqui temos a=3, b=2, c=1 e P=(x_0,y_0,z_0)=(4,4,0). Substituindo na forma ponto-normal:
3(x-4)+2(y-4)+1(z-0)=0.

Passo 5

Expandindo e coletando termos:
3x-12+2y-8+z=0
3x+2y+z-20=0.

Resposta

3x+2y+z-20=0

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