Classifique a afirmação abaixo como verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
, para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma afirmação matemática que precisa ser classificada como verdadeira ou falsa. A gente vai trabalhar com trigonometria, especificamente com identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as identidades envolvendo o seno e o cosseno, principalmente aquela que relaciona o seno ao cosseno de um ângulo duplo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica importante: a identidade do ângulo duplo para o cosseno. Essa identidade nos diz que:
Essa fórmula é útil porque nos permite expressar o cosseno de duas vezes um ângulo em termos do seno desse ângulo.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa identidade para isolar . A gente começa com:
Vamos subtrair 1 de ambos os lados:
Agora, multiplicando ambos os lados por
:
Por fim, dividindo ambos os lados por 2:
Passo 4
Observando o que a gente acabou de achar:
Percebe que essa expressão é um pouco diferente da que foi apresentada na afirmação do exercício:
Na verdade, a nossa derivação mostrou que:
Passo 5
Vamos comparar as duas expressões:
- A afirmação do exercício:
- A identidade que derivamos:
Vemos que na afirmação do exercício, o cosseno está sendo somado a 1, enquanto na identidade verdadeira, o cosseno está sendo subtraído de 1.
Passo 6
Para confirmar, vamos rearranjar a identidade verdadeira:
Percebemos que para a identidade verdadeira, o termo que acompanha o cosseno é
, e não
como na afirmação do exercício.
Passo 7
Assim, a expressão apresentada no exercício não corresponde à identidade trigonométrica correta para . A fórmula correta envolve a subtração de
de 1, e não a soma.
Resposta
A afirmação é falsa. A identidade correta para é , e não .