Classifique a afirmação abaixo como verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
sen^2(theta)=cos (2 theta)+12, para todo theta in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma afirmação matemática que precisa ser classificada como verdadeira ou falsa. A gente vai trabalhar com trigonometria, especificamente com identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as identidades envolvendo o seno e o cosseno, principalmente aquela que relaciona o seno ao cosseno de um ângulo duplo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica importante: a identidade do ângulo duplo para o cosseno. Essa identidade nos diz que:
Essa fórmula é útil porque nos permite expressar o cosseno de duas vezes um ângulo em termos do seno desse ângulo.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa identidade para isolar . A gente começa com:
Vamos subtrair 1 de ambos os lados:
Agora, multiplicando ambos os lados por sen^2(theta):
Por fim, dividindo ambos os lados por 2:

Passo 4

Observando o que a gente acabou de achar:
Percebe que essa expressão é um pouco diferente da que foi apresentada na afirmação do exercício:
Na verdade, a nossa derivação mostrou que:

Passo 5

Vamos comparar as duas expressões:
  1. A afirmação do exercício:
  2. A identidade que derivamos:
Vemos que na afirmação do exercício, o cosseno está sendo somado a 1, enquanto na identidade verdadeira, o cosseno está sendo subtraído de 1.

Passo 6

Para confirmar, vamos rearranjar a identidade verdadeira:
Percebemos que para a identidade verdadeira, o termo que acompanha o cosseno é sen^2(theta) = 1 - cos(2theta)2 = -(cos(2theta) - 1)2 = -( -1 + cos(2theta))2 = cos(2theta) + (-1)2 , e não -1 como na afirmação do exercício.

Passo 7

Assim, a expressão apresentada no exercício não corresponde à identidade trigonométrica correta para . A fórmula correta envolve a subtração de sen^2(theta) de 1, e não a soma.

Resposta

A afirmação é falsa. A identidade correta para é , e não .

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