Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Considere f(x, y)=ln (x^2+y). Existe u unitário de modo que Du f(1,2)=1.

Passo 1

Estamos examinando a afirmação sobre derivada direcional de 𝑓(x,y)=ln(x²+y) em (1,2) e queremos ver se existe vetor unitário u tal que D_u f(1,2)=1. O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para encontrar derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente
nabla f(x,y)=(∂∂xln(x²+y),∂∂yln(x²+y))²²
Usando regra da cadeia e derivada de ln, obtemos as componentes:
nabla f(x,y)=(2xx²+y,1x²+y)²²

Passo 3

Avaliando em (1,2), substituímos x=1 e y=2:
nabla f(1,2)=(2·11+2,11+2)=l(tfrac23,tfrac13r)

Passo 4

A derivada direcional máxima ao longo de qualquer vetor unitário u é igual ao módulo do gradiente naquele ponto. Calculamos
|nabla f(1,2)|=raizl(tfrac23r)²+l(tfrac13r)²=raiztfrac49+tfrac19=raiztfrac59=raiz53²²

Passo 5

Como raiz53approx0,745<1, a derivada direcional nunca atinge 1 para vetor unitário. Logo, não existe u tal que D_u f(1,2)=1.

Resposta

Falsa

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