Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Considere
. Existe
unitário de modo que
.
Considere
Passo 1
Estamos examinando a afirmação sobre derivada direcional de 𝑓(x,y)=ln(x²+y) em (1,2) e queremos ver se existe vetor unitário u tal que D_u f(1,2)=1. O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para encontrar derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente
Usando regra da cadeia e derivada de ln, obtemos as componentes:
Passo 3
Avaliando em (1,2), substituímos x=1 e y=2:
Passo 4
A derivada direcional máxima ao longo de qualquer vetor unitário u é igual ao módulo do gradiente naquele ponto. Calculamos
Passo 5
Como
, a derivada direcional nunca atinge 1 para vetor unitário. Logo, não existe u tal que D_u f(1,2)=1.
Resposta
Falsa