Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir então encontre o limite.
an=n^32 n^3+1.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma sequência que é an = n^32 n^3+1. A questão pede pra a gente descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar qual é o limite. Vamos usar conceitos de limites de sequências, especialmente quando lidamos com frações que envolvem polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico conforme n cresce indefinidamente. Nesse caso, a gente precisa calcular o limite de an quando n tende ao infinito.

Passo 3

A sequência é uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 3. Quando temos uma fração assim, o limite dela quando n vai para o infinito depende dos coeficientes dos termos de maior grau nos polinômios.

Passo 4

No numerador, o termo de maior grau é n^3, e no denominador é 2n^3. Para encontrar o limite, a gente pode dividir cada termo da fração pelo maior poder de n, que nesse caso é n^3.

Passo 5

Dividindo cada termo por n^3, temos:
an = n^32n^3 + 1 = 12 + 1n^3
À medida que n cresce, o termo 1n^3 vai ficando cada vez menor, se aproximando de zero.

Passo 6

Então, o limite da sequência é:
limn to infty an = 12 + 0 = 12

Resposta

A sequência converge e o limite é 12.

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