Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir então encontre o limite.
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma sequência que é
. A questão pede pra a gente descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar qual é o limite. Vamos usar conceitos de limites de sequências, especialmente quando lidamos com frações que envolvem polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico conforme
cresce indefinidamente. Nesse caso, a gente precisa calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
A sequência é uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 3. Quando temos uma fração assim, o limite dela quando
vai para o infinito depende dos coeficientes dos termos de maior grau nos polinômios.
Passo 4
No numerador, o termo de maior grau é
, e no denominador é
. Para encontrar o limite, a gente pode dividir cada termo da fração pelo maior poder de
, que nesse caso é
.
Passo 5
Dividindo cada termo por
, temos:
À medida que
cresce, o termo
vai ficando cada vez menor, se aproximando de zero.
Passo 6
Então, o limite da sequência é:
Resposta
A sequência converge e o limite é
.