Para quais valores de a sequência é convergente e para quais valores de é divergente?
Passo 1
O exercício quer saber pra quais valores de a sequência converge ou diverge. Isso é um problema de convergência de sequência e vamos usar o teste da razão, além de lembrar que uma exponencial vence qualquer polinomial.
Passo 2
A gente calcula a razão entre termos consecutivos:
Tomando n to infty, isso tende a |r|.
Passo 3
Se |r|<1, então para n grande temos l|an+1/anr| para algum q. Isso faz a sequência decair geometricamente e, portanto, anto0. Logo, converge.
Passo 4
Se |r|>1, então limntoinfty |an+1/an| = |r|>1, o que faz os termos crescerem em módulo sem parar. Daí diverge.
Passo 5
No caso |r|=1, analisamos dois subcasos:
– Para r=1, an=n tende a +infty.
– Para r=-1, an = n(-1)^n oscila com módulo ntoinfty.
Em ambos não há limite, então diverge.
Passo 6
Combinando tudo, concluímos que n r^n converge somente se |r|<1 (com limite zero) e diverge para |r|>=1.
Resposta
Converge para |r|<1 (com limite zero) e diverge para |r|>=1.