Para quais valores de r a sequência n r^n é convergente e para quais valores de r é divergente?

Passo 1

O exercício quer saber pra quais valores de r a sequência an = n r^n converge ou diverge. Isso é um problema de convergência de sequência e vamos usar o teste da razão, além de lembrar que uma exponencial vence qualquer polinomial.

Passo 2

A gente calcula a razão entre termos consecutivos:
|an+1an| = |(n+1)r^n+1n r^n| = n+1n,|r| = l(1 + 1nr) |r|
Tomando n to infty, isso tende a |r|.

Passo 3

Se |r|<1, então para n grande temos l|an+1/anr| para algum q. Isso faz a sequência decair geometricamente e, portanto, anto0. Logo, converge.

Passo 4

Se |r|>1, então limntoinfty |an+1/an| = |r|>1, o que faz os termos crescerem em módulo sem parar. Daí diverge.

Passo 5

No caso |r|=1, analisamos dois subcasos:
– Para r=1, an=n tende a +infty.
– Para r=-1, an = n(-1)^n oscila com módulo ntoinfty.
Em ambos não há limite, então diverge.

Passo 6

Combinando tudo, concluímos que n r^n converge somente se |r|<1 (com limite zero) e diverge para |r|>=1.

Resposta

Converge para |r|<1 (com limite zero) e diverge para |r|>=1.

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