Seja
uma função continua no retângulo
. Prove que
assume máximo e mínimo em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma função contínua f: R → ℝ definida num retângulo fechado e limitado R = {(x,y) ∈ ℝ²; α₁ ≤ x ≤ β₁, α₂ ≤ y ≤ β₂} atinge valores máximos e mínimos em R. O conteúdo principal é o Teorema do Valor Extremo: função contínua em conjunto compacto assume seus extremos. Precisaremos usar Heine–Borel (fechado + limitado ⇒ compacto), supremum/infimum e sequências convergentes.
Passo 2
Observamos que R é limitado (pois α₁ ≤ x ≤ β₁) e fechado (as desigualdades são não estritas). Pelo Teorema de Heine–Borel, R é compacto em ℝ².
Passo 3
Como f é contínua e R compacto, f® é limitado. Definimos
M = sup_{(x,y)∈R} f(x,y).
Esse supremo existe em ℝ porque f® é limitado acima.
M = sup_{(x,y)∈R} f(x,y).
Esse supremo existe em ℝ porque f® é limitado acima.
Passo 4
Para aproximar M, escolhemos uma sequência (xₙ,yₙ) em R tal que
f(xₙ,yₙ) > M − 1/n
para cada n∈ℕ. Como R é compacto, dessa sequência extrai-se uma subsequência convergente (x_{n_k},y_{n_k}) → (x*,y*) ∈ R.
f(xₙ,yₙ) > M − 1/n
para cada n∈ℕ. Como R é compacto, dessa sequência extrai-se uma subsequência convergente (x_{n_k},y_{n_k}) → (x*,y*) ∈ R.
Passo 5
Pela continuidade de f, temos
lim_{k→∞} f(x_{n_k},y_{n_k}) = f(x*,y*)
e como f(x_{n_k},y_{n_k}) → M, segue f(x*,y*) = M. Logo M é um valor máximo atingido em R.
lim_{k→∞} f(x_{n_k},y_{n_k}) = f(x*,y*)
e como f(x_{n_k},y_{n_k}) → M, segue f(x*,y*) = M. Logo M é um valor máximo atingido em R.
Passo 6
O mesmo raciocínio vale para m = inf_{(x,y)∈R} f(x,y): construímos sequência que se aproxima de m, extraímos subsequência convergente e, pela continuidade, f atinge esse mínimo em algum ponto de R.
Resposta
Existem pontos (x*,y*) e (x₀,y₀) em R tais que para todo (x,y) em R vale f(x₀,y₀) ≤ f(x,y) ≤ f(x*,y*). Ou seja, f assume máximo e mínimo em R.