Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se
é diferenciável em
e
é unitário, então,
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação de que, se uma função f é diferenciável em (a,b) e u=(u₁,u₂) é um vetor unitário, então a derivada direcional Dᵤ(a,b) vale fₓ(a,b)·u₁+f_y(a,b)·u₂. O conteúdo é derivada direcional e gradiente, e precisaremos usar a definição de diferenciabilidade que garante a existência do gradiente.
Passo 2
Pela teoria de derivadas direcionais, se f é diferenciável em (a,b) então existe o vetor gradiente ∇f(a,b)=(fₓ(a,b),f_y(a,b)) e a derivada direcional de f em direção a u é dada pelo produto escalar entre ∇f(a,b) e u.
Passo 3
Calculando esse produto escalar temos ∇f(a,b)·u = (fₓ(a,b),f_y(a,b))·(u₁,u₂) = fₓ(a,b)·u₁ + f_y(a,b)·u₂, exatamente a expressão do enunciado.
Resposta
Verdadeira.