Esboce o gráfico da curva plana r(t)=(e^t, 2 t) e encontre r^prime(t). Esboce o vetor posição r(0) e o vetor tangente r^prime(0).

Passo 1

Neste exercício a gente tem uma curva plana dada por vec r(t)=(e^t,2t). O conteúdo envolve parametrização de curvas no plano e derivada de funções vetor, e vamos precisar saber como derivar cada componente e interpretar geometricamente o traço da curva para desenhar o esboço e o vetor tangente.

Passo 2

Para encontrar a derivada do vetor posição, aplicamos a derivada componente a componente: a derivada de e^t em relação a t é e^t, e a derivada de 2t é 2. Assim,
vec r,'(t)=(e^t,2)

Passo 3

Agora, para esboçar o gráfico, note que o parâmetro t varia em R. A componente x=e^t cresce exponencialmente, ficando muito pequena quando tto-infty e crescendo rápido quando tto+infty. A componente y=2t é uma reta passando pela origem, decrescendo para t<0 e crescendo para t>0. O traço da curva começa perto do eixo y negativo para tll0, chega em (1,0) quando t=0, e segue subindo ligeiramente para a direita para t>0.

Passo 4

Calculamos agora no ponto t=0:
vec r(0)=(e^0,2cdot0)=(1,0),
$$\vec r,

Passo 5

(0)=(e^0,2)=(1,2).$$

Passo 6

Para esboçar vec r(0), desenhe o vetor que parte da origem até o ponto (1,0). Para o vetor tangente vec r,'(0), coloque sua cauda em (1,0) e desenhe-o na direção do vetor (1,2), apontando para cima e para a direita.

Resposta

vec r,'(t)=(e^t,2); vec r(0)=(1,0); vec r,'(0)=(1,2).

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