Esboce o gráfico da curva plana
e encontre
. Esboce o vetor posição
e o vetor tangente
.
Passo 1
Neste exercício a gente tem uma curva plana dada por
. O conteúdo envolve parametrização de curvas no plano e derivada de funções vetor, e vamos precisar saber como derivar cada componente e interpretar geometricamente o traço da curva para desenhar o esboço e o vetor tangente.
Passo 2
Para encontrar a derivada do vetor posição, aplicamos a derivada componente a componente: a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Assim,
Passo 3
Agora, para esboçar o gráfico, note que o parâmetro
varia em
. A componente
cresce exponencialmente, ficando muito pequena quando
e crescendo rápido quando
. A componente
é uma reta passando pela origem, decrescendo para
e crescendo para
. O traço da curva começa perto do eixo
negativo para
, chega em (1,0) quando
, e segue subindo ligeiramente para a direita para
.
Passo 4
Calculamos agora no ponto
:
$$\vec r,
Passo 5
(0)=(e^0,2)=(1,2).$$
Passo 6
Para esboçar
, desenhe o vetor que parte da origem até o ponto
. Para o vetor tangente
, coloque sua cauda em
e desenhe-o na direção do vetor
, apontando para cima e para a direita.