Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
O plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x^2+y^2+7 relativo ao ponto (raiz7, 0,14) passa por (0,0,0).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+y^2+7 e o ponto (raiz7,0,14). O conteúdo envolvido é plano tangente a uma superfície dada por z=f(x,y); para resolver precisamos calcular as derivadas parciais de f e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x,
partial fpartial y=2y

Passo 3

Avaliamos as derivadas no ponto (x0,y0)=(raiz7,0):
z0=f(raiz7,0)=7+0+7=14

Além disso, confirmamos que .

Passo 4

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)+z0
Substituindo os valores obtidos:
z=2raiz7(x-raiz7)+0,(y-0)+14=2raiz7x-2raiz7,raiz7+14
Como raiz7,raiz7=7, obtemos
z=2raiz7x-14+14=2raiz7x

Passo 5

Para verificar se (0,0,0) pertence ao plano, substituímos x=0 e y=0 na equação z=2raiz7x. Isso dá
z=2raiz7cdot0=0,
ou seja 0=0. Logo, o ponto satisfaz a equação do plano.

Passo 6

Portanto, o plano tangente realmente passa pelo ponto (0,0,0).

Resposta

Verdadeira

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